Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Абитуриент
Тела вращения КТ 3
45.000

Тела вращения КТ 3

Усеченный конус вписан в шар радиуса $$50$$ см. Если центры оснований конуса удалены от центра шара на расстояния $$1$$ дм и $$4$$ дм, то сумма площадей оснований конуса равна:

  1. Из теоремы Пифагора (рис. 5):

    $$r_1 = \sqrt{25 - 16} = 3$$ (дм); $$r_2 = \sqrt{25 - 1} = 2\sqrt{6}$$ (дм).

  2. $$S=S_1 + S_2 $$, $$S= \pi r_{1}^2 + \pi r_{2}^2$$, $$S = 9\pi +24\pi = 33\pi$$ ($$дм^2$$).

    3. Рис. 5
Выберите один из вариантов
Через хорду длины $$4$$ нижнего основания цилиндра и диаметр длины $$8$$ его верхнего основания проходит сечение. Если образующая цилиндра равна $$6$$, то секущая плоскость наклонена к плоскости основания цилиндра под углом, градусная мера которого равна:
  1. Так как $$CA=r=4$$ (рис.3), а $$AB=\frac{1}{2}AD=2$$, то $$CB=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$$. 
  2. Тогда, $$\textrm{tg} \angle OBC = \frac{OC}{CB}$$, $$\textrm{tg} \angle OBC =\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$, откуда $$\angle OBC = 60^{\circ}$$.
                                                                    
Введите ответ в поле

Пирамида, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник, вписана в цилиндр. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а линейный угол двугранного угла, образованного этими гранями, равен $$0,5\pi$$. Если образующая цилиндра равна $$5\sqrt{3}$$, а медиана основания пирамиды, проведенная к гипотенузе, равна $$5$$, то наибольшая из граней пирамиды имеет площадь:

На рисунке 7 точка $$O$$ – центр основания цилиндра.

  1. Так как $$\angle AOB = 90^{\circ}$$ и $$OC = 5$$, то $$R = 5$$, а $$AB = 10$$. 
  2. По теореме Пифагора: $$SO = \sqrt{CO^2 + CS^2}$$, $$SO = \sqrt{25 + 75} = 10$$. 
  3. Площадь грани $$ASB$$: $$S = \frac{1}{2}AB \cdot SO $$, $$S= \frac{10 \cdot 10}{2} = 50$$.

Рис. 7
Введите ответ в поле
В правильную четырехугольную пирамиду, боковые грани которой наклонены к плоскости основания под углом $$30^{\circ}$$, вписан цилиндр так, что его верхнее основание находится на расстоянии $$1$$ см от вершины пирамиды. Если площадь основания пирамиды равна $$108$$ см$$^2$$, то объем цилиндра равен:
  1. Рассмотри пирамиду с ребром основания $$a$$ (рис. 2).
                                                             
    Так как $$a^2=108$$, то $$a=6\sqrt{3}$$ см. Тогда, $$OP=r=3\sqrt{3}$$ см.
    Так как $$\angle SPO = 30^{\circ}$$, а $$\textrm{tg} 30^{\circ}=\frac{SO}{PO}$$, то $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{SO}{3\sqrt{3}}$$, откуда $$SO=3$$ см. 
  2. Рассмотрим цилиндр.
    Так как $$ST=1$$ см, то $$TO=3-1=2=H$$.
    Так как $$\angle SKT =30^{\circ}$$, то $$\textrm{tg} 30^{\circ}=\frac{ST}{TK}$$, $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{TK}$$, откуда $$TK=\sqrt{3}=R$$. 
  3. Найдем объем цилиндра: $$V=\pi R^2 H$$, $$V=6\pi$$ (см$$^3$$).
Выберите один из вариантов

Если осевое сечение цилиндра – квадрат с диагональю $$6$$ см, то объем цилиндра равен:

Квадрат $$ABCD$$ – осевое сечение цилиндра (рис. 1).


Рис. 1
  1. Так как $$AB = AD = l$$, то $$l^2 + l^2 = 36$$, откуда $$l = 3\sqrt{2}$$ (см).
    Тогда, $$r = \frac{l}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ (см). 
  2. Найдем объем цилиндра:

    $$V = \pi r^2 h$$, $$V = \pi \cdot \frac{9}{2} \cdot 3\sqrt{2} = 13,5\sqrt{2}\pi$$ ($$см^3$$).

Выберите один из вариантов
Радиус меньшего основания усеченного конуса и его высота равны $$5$$. Если объем полного конуса, основанием которого является меньшее из оснований усеченного конуса, а вершина находится в центре большего основания, в $$7$$ раз меньше объема усеченного, то радиус большего основания усеченного конуса равен:
  1. Объем полного конуса (рис. 4):
    $$V=\frac{\pi r_{1}^2 h}{3}$$, $$V=\frac{\pi \cdot 25 \cdot 5}{3}=\frac{125\pi}{3}$$. 
  2. Объем усеченного конуса:
    $$V=\frac{1}{3} \pi h(r_{1}^2 +r_{2}^2 +r_{1}r_{2})$$, $$V=\frac{5\pi}{3} \cdot (25 + r_{2}^2 + 5r_{2})$$. 
  3. Так как $$7 \cdot \frac{125\pi}{3}=\frac{5\pi}{3} \cdot (25 + r_{2}^2 + 5r_{2})$$, то
    $$r_{2}^2 +5r_{2}-150 = 0$$, откуда $$r_{2}=10$$.
                                                                       
Введите ответ в поле
Сечение цилиндра, радиус основания которого равен $$0,3$$ дм, построенное параллельно его оси, удалено от центров оснований цилиндра на $$1$$ см. Если площадь осевого сечения цилиндра равна $$18$$ см$$^2$$, то площадь построенного сечения цилиндра равна:
  1. Площадь осевого сечения цилиндра (рис. 10):
    $$S=2r \cdot l$$, $$18=6 \cdot l$$, откуда $$l=3$$ см. 
  2. Из теоремы Пифагора:
    $$BN=\sqrt{OB^{2} - ON^{2}}$$, $$BN = \sqrt{9 - 1} = 2\sqrt{2} (см)$$.
    Тогда $$BC=4\sqrt{2}$$ см. 
  3. Площадь построенного сечения цилиндра:
    $$S=BC \cdot l$$, $$S=4\sqrt{2} \cdot 3=12\sqrt{2}$$ (см$$^2$$).
                                                                
Выберите один из вариантов

Если объем конуса равен $$2$$ и расстояние от центра основания до образующей равно $$2$$, то площадь боковой поверхности конуса равна:

  1. Так как $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$, то $$\pi r^2 h = 6$$, $$h = \frac{6}{\pi r^2}$$.
  2. Так как $$\bigtriangleup AFO \sim \bigtriangleup AOB$$ (рис. 6), то

    $$\frac{FO}{OB} = \frac{AO}{AB}$$, $$\frac{2}{h} = \frac{r}{l}$$, $$\frac{2\pi r^2}{6} = \frac{r}{l}$$, $$\frac{\pi r}{3} = \frac{1}{l}$$, откуда $$\pi rl = 3$$.

  3. Площадь боковой поверхности: $$S = \pi rl = 3$$.

    4. Рис. 6
Введите ответ в поле

Основанием пирамиды является правильный треугольник, а одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно $$4$$. Если радиус шара, описанного вокруг пирамиды равен $$4$$, то ребро основания пирамиды равно:

    На рисунке 9: точка $$G$$ – центр шара, $$GS = GA = 4$$ – радиус шара, точка $$O$$ – центр основания пирамиды.

    1. Из теоремы Пифагора:

      $$DG = \sqrt{SG^2 - SD^2} = \sqrt{16-4} = 2\sqrt{3}$$.

    2. Радиус окружности, описанной около основания пирамиды: $$R = DG = 2\sqrt{3}$$.
      Но так как $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, то $$a = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6$$.

    Рис. 9
Введите ответ в поле
В конус вписана полусфера так, что ее большой круг лежит на основании конуса. Если угол при вершине осевого сечения конуса равен $$\frac{\pi}{3}$$, то число процентов, которые составляет площадь поверхности полусферы от площади поверхности конуса, равно:
  1. Так как $$\angle ABC = 60^{\circ}$$, то $$\angle OBC = 30^{\circ}$$ (рис. 8). Тогда, $$BO=2R=h$$. 
  2. В треугольнике $$OBC$$:
    $$\cos 30^{\circ}=\frac{BO}{BC}$$, $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2R}{BC}$$, откуда $$BC = \frac{4R}{\sqrt{3}} = l$$.
    Тогда, $$OC = \frac{2R}{\sqrt{3}} = r$$. 
  3. Площадь поверхности полуcферы: $$S=2\pi R^2$$. 
  4. Площадь поверхности конуса:
    $$S=\pi r^2 + \pi rl$$, $$S=\frac{4\pi R^2}{3} + \frac{8\pi R^2}{3} = 4\pi R^2$$. 
  5. Тогда, $$\frac{2\pi R^2}{4\pi R^2} \cdot 100$$% $$= 50$$%.
                                                                 
Введите ответ в поле
© Сиротина И.К., 2013—2026