Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Абитуриент
Тела вращения КТ 4
45.000

Тела вращения КТ 4

В усеченный конус, образующая которого наклонена к основанию под углом $$60^{\circ}$$, вписана сфера. Если радиус сферы равен $$\sqrt{3}$$, то число процентов, которые составляет площадь поверхности сферы от площади боковой поверхности конуса, равно:

  1. Так как $$\angle A = 60^{\circ}$$ (рис.6), то $$\sin 60^{\circ} = \frac{BP}{AB}$$, $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{AB}$$, откуда $$AB = 4 = l$$.

    2. Рис. 6
  2. . По свойству четырехугольника, описанного около окружности:

    $$AD+BC = 2l = 8$$. Тогда, $$r_{1}+r_{2}=4$$.

  3. Площадь поверхности сферы:

    $$S=4\pi R^2$$, $$S=4\pi \cdot 3 = 12\pi$$. 

  4. Площадь боковой поверхности конуса: 
    $$S = \pi (r_{1}+r_{2})l$$, $$S = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi$$. 

  5. Тогда, $$\frac{12\pi}{16\pi} \cdot 100\% = 75\%$$.

Введите ответ в поле
Если стороны основания параллелепипеда имеют длины $$3$$ и $$\sqrt{2}$$ образуют угол $$135^{\circ}$$, а его боковое ребро длины $$\sqrt{8}$$ наклонено к плоскости основания под углом $$45^{\circ}$$, то объем параллелепипеда равен:
  1. Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$ (рис. 9).
                                                              
    Так как $$\angle ADC = 135^{\circ}$$, то $$\angle BAD = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} = \alpha$$.
  2. Найдем площадь параллелограмма:
    $$S = a \cdot b \cdot sin \alpha$$, $$S = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$$. 
  3. Так как $$ \angle A_{1}AC = 45^{\circ}$$, то $$\sin 45^{\circ} = \frac{h}{AA_1}$$, откуда $$h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{8} = 2$$. 
  4. Найдем объем параллелепипеда:
    $$V = S_{осн.} \cdot h$$, $$V = 3 \cdot 2 = 6$$.
Введите ответ в поле

Конус вписан в цилиндр, осевым сечением которого является квадрат. Если объем конуса равен $$6$$, то объем цилиндра равен:

  1. Объем конуса (рис. 1): $$V = \frac{\pi r^2 h}{3}$$.

    Так как $$h=2r$$, то $$6 = \frac{\pi r^2 \cdot 2r}{3}$$, откуда $$2\pi r^3 = 18$$.

  2. Объем цилиндра: $$V = \pi r^2 h $$, $$V= 2\pi r^3 = 18$$.

    3. Рис. 1
Введите ответ в поле

Площадь правильного шестиугольника, стороны которого касаются поверхности шара, равна $$1,5 \sqrt{3}$$ . Если площадь поверхности шара равна $$19\pi$$ , то центр шестиугольника удален от центра шара на расстояние, равное:

  1. Площадь шестиугольника:

    $$S = \frac{6 \cdot \sqrt{3} a^2}{4}$$, $$\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} a^2}{2}$$, откуда $$a = 1$$.

  2. Радиус окружности, вписанной в треугольник:

    $$r = \frac{\sqrt{3}a}{2} $$, $$r= \frac{\sqrt{3}}{2}$$ (рис.5).


    3. Рис. 5
  3. Площадь поверхности шара:

    $$S = 4\pi R^2$$, $$19\pi = 4\pi R^2$$, откуда $$R = \frac{\sqrt{19}}{2}$$.

  4. Расстояние от центра шестиугольника до центра шара:

    $$d = \sqrt{R^2 - r^2}$$, $$d = \sqrt{\frac{19}{4} - \frac{3}{4}} = 2$$.

Введите ответ в поле
Если в правильную треугольную пирамиду со стороной основания $$4\sqrt{3}$$ вписан шар радиуса $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$,то боковая грань пирамиды наклонена к плоскости ее основания под углом, градусная мера которого равна:
На рисунке 7: точка $$G$$ – центр шара, $$GO=GN=R=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ – радиус шара, точка $$O$$ – центр основания пирамиды.
                                                                      
  1. Радиус окружности, вписанной в основание пирамиды: $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$$. 
  2. По свойству касательных: $$KN = KO = 2$$.
  3. По теореме Пифагора: $$SG = \sqrt{SN^{2}+GN^{2}} = \sqrt{x^{2} + \frac{4}{3}}$$. 
  4. Так как $$\bigtriangleup SNG \sim \bigtriangleup SOK$$, то $$\frac{NG}{OK} = \frac{SG}{SK}$$, $$\frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{x^2 + \frac{4}{3}}}{x+2}$$, $$x+2 = \sqrt{3x^2 + 4}$$, $$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 4$$, откуда $$x=2$$. Тогда, $$SK=4$$. 
  5. Так как $$\cos \alpha = \frac{OK}{SK} = \frac{1}{2}$$, то $$\alpha = 60^{\circ}$$.
Введите ответ в поле
Если основание пирамиды – ромб со стороной $$1,2$$ дм и острым углом $$30^{\circ}$$, а объем пирамиды равен $$72$$ $$см^{3}$$, то боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом, градусная мера которого равна:
  1. Найдем площадь ромба (рис. 3):
    $$S = a^2 sin\angle A $$, $$S = 12^2 sin 30^{\circ} = 72$$ (см$$^2$$). 
                                                            
  2. По формуле $$V = \frac{1}{3} S \cdot h$$ получим:
    $$72 = \frac{72}{3} \cdot h$$, откуда $$h=3$$ см. 
  3. Найдем высоту $$OK$$ треугольника $$DOC$$.
    Так как $$S_{\bigtriangleup} = 72:4 = 18$$ и $$S_{\bigtriangleup} = \frac{1}{2}a \cdot OK$$, то $$6 \cdot OK = 18$$, откуда $$OK=3$$ см. 
  4. Тогда, $$\textrm{tg}\angle SKO = \frac{h}{OK} = \frac{3}{3} = 1$$, откуда $$\angle SKO = 45^{\circ}$$.
Введите ответ в поле
В пирамиду, основанием которой является правильный треугольник, а две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, вписан цилиндр, образующая которого равна $$4$$, а радиус его основания равен $$1$$. Если третья грань пирамиды образует с плоскостью ее основания угол $$45^{\circ}$$, то высота пирамиды равна:
  1. Так как радиус окружности, вписанной в правильный треугольник $$DGN$$, равен $$1$$, то медиана $$DP = 3r = 3$$ (рис. 2). 
  2. Так как $$OP = OK = 4$$, то $$AK = 3+4 = 7$$. 
  3. Так как $$\bigtriangleup ASK \sim \bigtriangleup OPK$$, то $$\frac{AS}{OP} = \frac{AK}{OK}$$, $$\frac{h}{4} = \frac{7}{4}$$, откуда $$h=7$$.
                                                            
Введите ответ в поле

Правильная четырехугольная пирамида вписана в шар, радиус которого равен $$1$$. Если плоский угол при вершине пирамиды равен $$60^{\circ}$$, то площадь ее основания равна:

На рисунке 8: точка $$T$$ – центр шара, $$TA=TS=1$$ – радиус шара, точка $$O$$ – центр основания пирамиды.

Рис. 8
  1. Диагональ основания пирамиды:

    $$AC = \sqrt{a^{2}+a^{2}} = a\sqrt{2}$$. Тогда, $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

  2. Так как $$\angle DSC = 60^{\circ}$$, то боковые грани пирамиды – равносторонние треугольники со стороной $$a$$.
  3. Из теоремы Пифагора:

    $$SO = \sqrt{AS^{2}-OA^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

    Тогда, $$TO = \frac{a\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{a - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$.

  4. По теореме Пифагора:
    $$AT^2 = AO^{2}+TO^{2}$$, $$1=\frac{a^2}{2} + \frac{a^2 - 2\sqrt{2}a + 2}{2}$$, откуда $$a=\sqrt{2}$$. 
  5. Площадь основания пирамиды: $$S = a^2 $$, $$S= 2$$.
Введите ответ в поле
Если апофема правильной четырехугольной пирамиды равна $$\sqrt{6}$$ и образует с ее высотой угол $$30^{\circ}$$, то площадь поверхности пирамиды равна:
На рисунке 10: точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
                                                                   
  1. Так как $$\angle OSP = 30^{\circ}$$, то $$r = \frac{\sqrt{6}}{2}$$.
    Тогда, $$h = \sqrt{6-\frac{3}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$. 
  2. Так как $$r = \frac{\sqrt{6}}{2}$$, то $$a = 2r = \sqrt{6}$$. 
  3. Найдем площадь основания пирамиды: $$S_1 = a^2 = 6$$. 
  4. Найдем боковую поверхность пирамиды:
    $$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot SP = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 12$$. 
  5. Найдем площадь поверхности пирамиды: $$S = 6+12 = 18$$.
Введите ответ в поле

Шар касается плоскости $$\beta$$ в точке $$A$$. Если точка $$B$$ принадлежит плоскости $$\beta$$ и удалена от точки $$A$$ на расстояние $$5$$ см, а от поверхности шара – на $$1$$ см, то диаметр шара равен:

  1. По свойству касательной и секущей (рис. 4):
    $$BA^2 = BC \cdot BD$$, $$25 = BC \cdot 1$$, откуда $$BC = 25$$ см. 

  2. Диаметр шара: $$CD = 25-1 = 24$$ (см).

Рис. 4
Выберите один из вариантов
© Сиротина И.К., 2013—2026