Алгебраические неравенства КТ 2
Длина промежутка, не являющегося решением неравенства $$\sqrt{ \frac{2x-3}{3x-2}}$$, равна:
- $$\frac{2x-3}{3x-2}>0$$ , откуда $$x\in \left( \frac{2}{3};\frac{3}{2} \right )$$ (рис. 2).
- $$\frac{3}{2}- \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$$.
Выберите один из вариантов
Сумма длин промежутков, образующих решение неравенства $$(\left | 2\left | x \right |-1 \right |-4)\left ( \left | 2+x \right |-5 \right )\leq 0$$, равна:
- Нули функции $$f(x)=(\left | 2\left | x \right |-1 \right |-4)\left ( \left | 2+x \right |-5 \right )$$:
1) $$\left | 2\left | x \right |-1 \right |=4$$, $$\left[\begin{matrix} \begin{aligned} &\ 2\left | x \right |-1=4 ,\\ &\ 2\left | x \right |-1=-4; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$\left[\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \left | x \right |=2,5 ,\\ &\ \left | x \right |=-1,5; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$x=\pm2,5$$;
2) $$\left | 2+x \right |=5$$, $$\left[\begin{matrix} \begin{aligned} &\ 2+x=5 ,\\ &\ 2+x=-5; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$\left[\begin{matrix} \begin{aligned} &\ x=3,\\ &\ x=-7. \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ - Решение неравенства (рис. 5):
$$\left [ -7;-2,5 \right ]\cup \left [ 2,5;3 \right ]$$. - Сумма длин промежутков, образующих решение неравенства:
$$(-2,5+7)+(3-2,5)=5$$.
Введите ответ в поле
Количество целых решений неравенства$$\frac{(x-2)x}{x+2}\geq \frac{x-2}{(x+2)x}$$, не превосходящих число $$2$$, равно:
- Решение неравенства:
$$\frac{(x-2)x}{x+2}-\frac{x-2}{(x+2)x}\geq 0$$, $$\frac{(x-2)(x-1)(x+1)}{(x+2)x}\geq 0$$,
откуда $$x\in \left ( -2;-1 \right ]\cup \left ( 0;1 \right ]\cup \left [ 2;+\infty \right )$$ (рис. 4). - Не превосходят число $$2$$ числа: $$–1$$; $$1$$; $$2$$.
Введите ответ в поле
Сумма всех целых решений неравенства
$$\frac{\sqrt{12-4x-x^{2}}}{x+6}\leq \frac{\sqrt{12-4x-x^{2}}}{5x+8}$$ равна:
- ОДЗ: $$x^{2}+4x-12\leq 0$$ $$x\in\left [ -6;2 \right ]$$ (рис. 6).
- $$\sqrt{12-4x-x^{2}}\left ( \frac{1}{x+6}-\frac{1}{5x+8} \right )\leq 0$$,
$$\sqrt{12-4x-x^{2}}\cdot \frac{4x+2}{(x+6)(5x+8)}\leq 0$$,
откуда $$x\in (-1,6;-0,5]\cup\left \{ 2 \right \}$$ (рис. 7). - $$-1+2=1$$.
Введите ответ в поле
Количество целых чисел, не принадлежащих множеству решений неравенства $$\left |x^{3}+3x\right |>1+3x^{2}$$, равно:
- Решение неравенства:
$$\left[\begin{matrix} \begin{aligned} &\ x^{3}+3x>1+3x^{2},\\ &\ x^{3}+3x<-1-3x^{2}; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$\left[\begin{matrix} \begin{aligned} &\ x^{3}-3x^{2}+3x-1>0,\\ &\ x^{3}+3x^{2}+3x+1<0; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$\left[\begin{matrix} \begin{aligned} &\ (x-1)^{3}>0,\\ &\ (x+1)^{3}<0; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$\left[\begin{matrix} \begin{aligned} &\ x>1,\\ &\ x<-1. \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ - Не являются решениями неравенства целые числа: $$–1$$; $$0$$; $$1$$.
Введите ответ в поле
Сумма целых чисел, являющихся решениями неравенства $$x^2(x-1)(x+2)^4≥0$$ и принадлежащих интервалу
$$(-\sqrt{5};\sqrt{5})$$, равна:
- Решения неравенства (рис. 1): $$ x\in\{ -2;0 \}\cup[1;+ ∞)$$.
- Сумма целых чисел, являющихся решениями неравенства: $$-2+0+1+2=1$$.
Введите ответ в поле
Середина отрезка, на котором выполняется неравенство $$(x-7)\sqrt{x^{2}+7}\geq x^{2}-49$$, равна:
- Запишем неравенство в виде:
$$(x-7)\sqrt{x^{2}+7}-(x-7)(x+7)\geq 0$$,
$$(x-7)(\sqrt{x^{2}+7}-x-7)\geq 0$$. - Рассмотрим функцию $$f(x)=(x-7)(\sqrt{x^{2}+7}-x-7)$$.
Нули функции:
а) $$x-7=0$$, откуда $$x=7$$;
б) $$\sqrt{x^{2}+7}=x+7$$, где $$x\geq -7$$, $$x^{2}+7=x^{2}+14x+49$$, откуда $$x=-3$$. - Решение неравенства (рис. 8): $$\left [ -3;7 \right ]$$.
- Середина отрезка: $$(-3+7):2=2$$.
Введите ответ в поле
Сумма модулей целых чисел, не являющихся решениями неравенства $$3|x| -2,8≥\frac{12-2|x|}{5}+7$$, равна:
- Решение неравенства:
$$15\left | x \right |-14\geq 12-2\left | x \right |+35$$,
$$17\left | x \right |\geq 61,\left | x \right |\geq 3\frac{10}{17} $$,
откуда $$x\in \left (-∞;-3\frac{10}{17} \right ]\cup \left [ 3\frac{10}{17};+∞ \right)$$. - Сумма модулей целых чисел, не являющихся решениями неравенства:
$$\left | -3 \right |+\left | -2 \right |+\left | -1 \right |+\left | 0 \right |+\left | 1 \right |+\left | 2 \right |+\left | 3 \right |=12$$.
Введите ответ в поле
Удвоенная длина промежутка, который содержит все решения неравенства
$${\frac{2x}{2x^2-x-6}}≥{\frac{2+x}{10x+15}}+{\frac{1}{x-2}}$$, равна:
- $$\frac{2x}{(2x+3)(x-2)}-\frac{2+x}{5(2x+3)}-\frac{1}{x-2}
\geq 0$$,
$$\frac{x^{2}+11}{5(2x+3)(x-2)}\leq 0$$, откуда $$x\in (-1,5;2)$$ (рис. 5). - $$2\cdot(2+1,5)=7$$.
Введите ответ в поле
Число, противоположное наибольшему целому решению неравенства
$$\frac{\left | x+3 \right |-3x}{2x+1}<-1$$, равно:
- Если $$x<-3$$, то $$\frac{-x-3-3x}{2x+1}< -1$$, $$\frac{-2x-2}{2x+1}< 0$$, $$\frac{x+1}{2x+1}> 0$$,
что справедливо при $$x<-3$$. - Если $$x> -3$$, $$\frac{x+3-3x}{2x+1}< -1$$, $$\frac{4}{2x+1}< 0$$, $$2x+1< 0$$,$$x< -0,5$$.
Следовательно, $$x\in [-3;-0,5)$$. - Решение неравенства: $$(-\infty;-0,5)$$.
Тогда, $$-(-1)=1$$.
Введите ответ в поле