Алгебраические неравенства КТ 3
Сумма всех целых положительных чисел, не удовлетворяющих условию
$$\frac{x^{3}}{\left | x-4 \right |}\geq x^{2}-8x+16$$, равна:
- Если $$x<4$$, то $$\frac{x^{3}}{-(x-4)}\geq (x-4)^{2}$$, $$-x^{3}\geq (x-4)^{3}$$, $$-x\geq x-4$$,
$$x\leq 2$$ – решение неравенства на этом промежутке. - Если $$x>4$$, то $$\frac{x^{3}}{(x-4)}\geq (x-4)^{2}$$, $$x^{3}\geq (x-4)^{3}$$, $$x\geq x-4$$, $$0\geq-4$$,
следовательно, $$x>4$$ – решение неравенства на этом промежутке. - Решение неравенства: $$x\in \left ( -\infty;2 \right ]\cup (4;+\infty )$$.
- $$3+4=7$$.
Введите ответ в поле
Количество целых неотрицательных чисел, не являющихся решениями неравенства $$x^{3}+25x>10x^{2}$$, равно:
- Решение неравенства:
$$x^{3}-10x^{2}+25x>0$$, $$x(x-5)^{2}>0$$, откуда $$x\in (0;5)\cup (5;+\infty )$$ (рис. 1). - Не являются решениями неравенства неотрицательные числа $$0$$ и $$5$$.
Введите ответ в поле
Количество целых решений неравенства $$2x-1\lt x^2\lt 2x+2$$ равно:
Заменим данное неравенство равносильной системой неравенств:
$$\left\{ \begin{aligned} x^2&>2x-1,\\ x^2&<2x+1; \end{aligned} \right.$$ $$\left\{ \begin{aligned} (x-1)^2&>0,\\ x^2-2x-1&<0. \end{aligned} \right.$$
$$\left\{ \begin{aligned} x^2&>2x-1,\\ x^2&<2x+1; \end{aligned} \right.$$ $$\left\{ \begin{aligned} (x-1)^2&>0,\\ x^2-2x-1&<0. \end{aligned} \right.$$
- Решение первого неравенства системы: $$x\in \textrm{R}/x\neq1$$.
- Решение второго неравенства системы: $$x\in(1-\sqrt2;1+\sqrt2)$$ (рис. 4).
- Целые решения системы неравенств: $$0$$ и $$2$$.
Введите ответ в поле
Сумма всех целых решений неравенства $$x^3+6x^2+12|x|+8>0$$, принадлежащих промежутку $$[0;8)$$, равна:
- Так как на заданном промежутке $$x\geq0$$, то
$$x^3+6x^2+12x+8>0$$, $$(x+2)^3>0$$, откуда $$x>-2$$. - Решение неравенства: $$x\geq0$$.
- Сумма целых решений неравенства на промежутке $$[0;8)$$:
$$0+1+2+3+4+5+6+7=28$$.
Введите ответ в поле
Все решения неравенства $$\sqrt{x-3}+4\geq x$$ удовлетворяют условию:
- Запишем неравенство в виде:
$$\sqrt{x-3}+4-x\geq0$$. - Рассмотрим функцию:
$$f(x)=\sqrt{x-3}+4-x$$. $$D(f):x\geq3$$. - Найдем нули функции:
$$\sqrt{x-3}=x-4$$, где $$x\geq4$$, $$x-3=x^2-8x+16$$, $$x^2-9x+19=0$$,
откуда $$x_1=\frac{9-\sqrt{5}}{2}$$ (посторонний корень), $$x_2=\frac{9+\sqrt{5}}{2}$$. - Решение неравенства:
$$\left[3;\frac{9+\sqrt{5}}{2}\right]$$ (рис. 3).
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$\sqrt{x^{2}+2x+1}> 2-x$$, не удовлетворяющих условию $$\left | x \right |> 5$$, равно:
- Решение неравенства:
$$\left | x+1 \right |> 2-x$$; $$\left[\ \begin{matrix} x+1>2-x, & \\ x+1<-2+x; & \end{matrix}\right.$$ $$\left[\ \begin{matrix} x>0,5, & \\ 1<-2; & \end{matrix}\right.$$ $$x>0,5$$. - Среднее арифметическое целых решений неравенства, удовлетворяющих условию $$|x|\le 5$$:
$$(1+2+3+4+5):5=3$$.
Введите ответ в поле
Количество целых решений системы неравенств $$\left\{\begin{matrix}
\begin{aligned}
&\frac{x^{2}-4}{x+2}\leq x-2,\\
&\frac{1}{x}-\frac{6}{x}\geq 1 \end{aligned}
&\end{matrix}\right.$$
равно:
равно:
$$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\frac{x^{2}-4}{x+2}-(x-2)\leq 0,\\ &\frac{5}{x}+1\leq 0; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\frac{0}{x+2}\leq 0,\\ &\frac{5+x}{x}\leq 0. \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ 
- Решение первого неравенства системы: $$x\in \textrm{R}/x\neq -2$$.
- Решение второго неравенства системы: $$x\in [-5;0)$$ (рис. 5).
- Целые решения системы неравенств: $$–5$$; $$–4$$; $$–3$$; $$–1$$.
Введите ответ в поле
Количество целых положительных решений неравенства $$\left | x^{2}-4x+3 \right |\geq |x^{2}-3x-1|$$ равно:
- Решение неравенства:
$$\left ( x^{2}-4x+3 \right )^{2}\geq (x^{2}-3x-1)^{2}$$,
$$(4-x)(2x^{2}-7x+2)\geq 0$$,
$$x\in\left ( -\infty;\frac{7-\sqrt{33}}{4} \right ]\cup \left [\frac{7+\sqrt{33}}{4};4 \right ]$$ (рис. 2). - Целое положительное решение неравенства: $$4$$.
Введите ответ в поле
Количество всех целых решений неравенства
$$\sqrt{2+\sqrt{x}}+\sqrt{2-\sqrt{x}}\leq\sqrt{2+x}$$ равно:
- ОДЗ: $$0< x\leq 4$$.
- $$\left (\sqrt{2+\sqrt{x}}+\sqrt{2-\sqrt{x}} \right )^{2}\leq 2+x$$,
$$2+\sqrt{x}+2\sqrt{4-x}+2-\sqrt{x}\leq 2+x$$,
$$2\sqrt{4-x}\leq x-2$$, где $$x\geq 2$$,
$$16-4x\leq x^{2}-4x+4$$, $$x^{2}\geq 12$$, $$\left | x \right |\geq 2\sqrt{3}$$. - Решение неравенства: $$\left [2\sqrt{3};4 \right]$$.
- Целое решение: $$4$$.
Введите ответ в поле
Сумма длин промежутков, которые образуют решения неравенства $$5x^2+2\leq11\sqrt{x^2}$$, увеличенная в $$1\frac{2}{3}$$ раза, равна:
- Запишем неравенство в виде: $$5|x|^2-11|x|+2\leq0$$.
- Рассмотрим функцию $$f(x)=5|x|^2-11|x|+2$$.
Нули функции:
1) $$|x|=0,2$$, откуда $$x=\pm0,2$$;
2) $$|x|=2$$, откуда $$x=\pm2$$. - Решение неравенства (рис. 6): $$[-2;-0,2]\cup[0,2;2]$$.
- $$\frac{5}{3}\cdot(-0,2+2+2-0,2)=6$$.
- Запишем неравенство в виде:
$$5|x|^2-11|x|+2\leq0$$. - Рассмотрим функцию $$f(x)=5|x|^2-11|x|+2$$.
Нули функции:
1) $$|x|=0,2$$, откуда $$x=\pm0,2$$;
2) $$|x|=2$$, откуда $$x=\pm2$$. - Решение неравенства (рис. 6): $$[-2;-0,2]\cup[0,2;2]$$.
- $$\frac{5}{3}\cdot(-0,2+2+2-0,2)=6$$.
Введите ответ в поле