Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Абитуриент
Алгебраические неравенства КТ 6
45.000

Алгебраические неравенства КТ 6

Целое неотрицательное решение (или их сумма) неравенства $$\frac{x}{x+2}+\sqrt{\frac{2x}{x+2}}-1,5\sqrt[4]{\frac{2x}{x+2}}>0$$ равно:
  1. Рассмотрим функцию:
    $$f(x)=\frac{x}{x+2}+\sqrt{\frac{2x}{x+2}}-1,5\sqrt[4]{\frac{2x}{x+2}}$$. 
    $$D(f)$$: $$\frac{2x}{x+2}\geq 0$$, откуда $$x\in (-\infty;-2)\cup \left [ 0;+\infty \right)$$ (рис. 6). 
  2. Найдем нули функции. 
    Полагая $$\sqrt[4]{\frac{2x}{x+2}}=a$$, получим: 
    $$a^{4}+2a^{2}-3a=0$$, $$a(a^{3}+2a-3)=0$$, $$a(a^{3}-1+2a-2=0)$$, $$a((a-1)(a^{2}+a+1)+2(a-1))=0$$, $$a(a-1)(a^{2}+a+3)=0$$, откуда $$a_{1}=0$$, $$a_{2}=1$$. 
    Тогда: 1) $$\frac{2x}{x+2}=0$$, откуда $$x=0$$; 2) $$\frac{2x}{x+2}=1$$, откуда $$x=2$$. 
  3. Решение неравенства (рис. 7): $$x\in (-\infty;-2 )\cup (0;2)$$. 
    Целое неотрицательное решение: $$1$$.
                                                                         
                                                                     
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое всех целых значений $$a$$, для которых неравенство $$\frac{x^{2}-ax+1}{2x^{2}+2x+3}< 1$$ выполняется при любых значениях $$x$$, равно:
  1. Так как $$2x^{2}+2x+3> 0$$, то
    $$x^{2}-ax+1<2x^{2}+2x+3 $$,
    $$x^{2}+(2+a)x+2> 0$$.
    Следовательно, $$D=(2+a)^{2}-8< 0$$, откуда
    $$\left | 2+a \right |< \sqrt{8}$$,
    $$-\sqrt{8}< 2+a< \sqrt{8}$$,
    $$-\sqrt{8}-2< a<\sqrt{8}-2$$. 
  2. Среднее арифметическое всех целых значений $$a$$:
    $$(-4-3-2-1+0):5=-2$$.
Введите ответ в поле
Площадь фигуры (с точностью до целых), удовлетворяющей неравенствам $$\left | x+1 \right |+\left | y-2 \right |\geq 3$$ и $$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\leq 9$$, равна:
Имеем квадрат и окружность с центрами в точке $$А(-1;2)$$ (рис. 8).
                                                                             
  1. Неравенству $$\left | x+1 \right |+\left | y-2 \right |\geq 3$$ удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных вне квадрата и на его границе. 
  2. Неравенству $$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\leq 9$$ удовлетворяют координаты всех точек круга. 
  3. По формуле $$S=\frac{d^{2}}{2}$$ найдем площадь квадрата:
    $$S=\frac{6^{2}}{2}=18$$. 
  4. По формуле $$S=\pi r^{2}$$ найдем площадь круга:
    $$S=9\pi$$. 
  5. Площадь фигуры:
    $$S=9\pi -18\approx 9\cdot 3,14-18\approx 10$$.
Введите ответ в поле
Количество всех целых решений системы неравенств $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \sqrt{5x-x^{2}}\leq 5-x,\\ &\ 2\sqrt{5-x}\geq \sqrt{5x-x^{2}} \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ равно:
  1. ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ 5x-x^{2}\geq 0,\\ &\ 5-x\geq 0; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$0\leq x\leq 5$$. 
  2. Решение первого неравенства системы:
    $$5x-x^{2}\leq 25-10x+x^{2}$$, $$2x^{2}-15x+25\geq 0$$, откуда $$x\in [0;2,5]\cup \left \{ 5 \right \}$$ (рис. 9). 
  3. Решение второго неравенства системы:
    $$20-4x\geq 5x-x^{2}$$, $$x^{2}-9x+20\geq 0$$, откуда $$x\in [0;4]\cup \left \{ 5 \right \}$$ (рис. 10). 
  4. Решение системы неравенств:
    $$x\in [0;2,5]\cup \left \{ 5 \right \}$$. 
  5. Целые решения: $$0$$; $$1$$; $$2$$; $$5$$.
                                                           
                                                           
Введите ответ в поле
Площадь фигуры, удовлетворяющей системе неравенств $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \left | y \right |\leq x+1,\\ &\ \left | x \right |\leq 1, \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ равна:
  1. На промежутке $$x\in \left [ -1;1 \right ]$$ построим прямые 
    $$y=x+1$$ (1) и $$y=-x-1$$ (2) (рис. 5). 
    Треугольник $$ABC$$ - решение системы неравенств. 
  2. $$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH$$, $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$$.
                                                                    
Введите ответ в поле
Сумма длин промежутков, образующих решение неравенства $$\frac{x^{2}-7x+6}{x^{2}-7}< 0$$, равна:
  1. Решения неравенства (рис. 1): 
    $$x\in \left ( -\sqrt{7};1 \right )\cup \left ( \sqrt{7};6 \right )$$. 
  2. Сумма длин полученных промежутков: 
    $$\left ( 1+\sqrt{7} \right )+\left ( 6-\sqrt{7} \right )=7$$.
                                                                 
Выберите один из вариантов
Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$5\left | x-2 \right |-\left | 3-x \right |< \left | x+5 \right |$$, равна:
Решим неравенства на промежутках (рис. 2). 
                                                                        
  1. Если $$x\in \left (-\infty ;-5 \right ]$$, то получим: $$-5x+10-3+x< -x-5$$, $$x> 4$$. Следовательно, на этом промежутке решений нет. 
  2. Если $$x\in \left ( -5;2 \right ]$$, то получим:  $$-5x+10-3+x< x+5$$, $$x>0,4$$. 
    Следовательно, $$x\in \left ( 0,4;2\right ]$$. 
  3. Если $$x\in \left ( 2;3 \right ]$$, то получим: $$5x-10-3+x< x+5$$, $$x< 3,6$$. 
    Следовательно, $$x\in \left ( 2;3 \right ]$$. 
  4. Если $$x\in \left ( 3; +\infty \right )$$,  то получим: $$5x-10+3-x< x+5$$, $$x<4 $$. 
    Следовательно, $$x\in \left [3;4 \right )$$. 
Решение неравенства: $$\left ( 0,4;4 \right )$$. 
Длина промежутка, который образуют все решения неравенства: $$4-0,4=3,6$$.
Введите ответ в поле
Наименьшее целое число, принадлежащее области определения функции $$y=\frac{24-2x-x^{2}}{\sqrt{(x+1)^{3}}}$$, равно:
  1. $$x+1>0$$, откуда $$x>-1$$. 
  2. $$x=0$$.
Введите ответ в поле
Сумма целых положительных решений неравенства $$ \sqrt{x^{2}-13x+36}\cdot \sqrt[3]{x-3}\leq 0$$ равна:
  1. ОДЗ: $$x^{2}-13x+36\geq 0$$, откуда $$x\in (-\infty ;4]\cup \left [9;+\infty \right )$$ (рис. 3). 
  2. Решение неравенства (рис. 4):
    $$x\in \left (-\infty ;3 \right ]\cup \left \{ 4;9 \right \}$$. 
  3. Целые положительные решения:
    $$1$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$9$$.
                                                       
                                                    
Введите ответ в поле
Множество всех решений неравенства $$\sqrt{x+2}+\sqrt{4+x}< 2$$ образует промежуток:
  1. ОДЗ: $$x\geq -2$$. 
  2. $$\left ( \sqrt{x+2}+\sqrt{4+x} \right )^{2}< 4$$, $$x+2+2\sqrt{(x+2)(x+4)}+4+x<4$$,  
    $$\sqrt{(x+2)(x+4)}< -x-1$$,  где $$x\leq 1$$,     $$x^{2}+6x+8< x^{2}+2x+1$$, $$x< -1,75$$. 
  3. Решение неравенства: $$\left [-2;-1,75 \right )$$.
Выберите один из вариантов
© Сиротина И.К., 2013—2026