Алгебраические неравенства КТ 7
Сумма целых чисел, которые не являются решениями неравенства $$|5-x|\geq5$$, равна:
- $$\left [\begin{matrix} 5-x\geq5,\hfill\\ 5-x\leq-5; \end{matrix}\right.$$ $$\left [\begin{matrix} x\leq0,\hfill\\ x\geq10. \end{matrix}\right.$$
- $$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$$.
Введите ответ в поле
Целое решение (или сумма всех целых решений) неравенства $$\sqrt[4]{15+x}-\sqrt[4]{2-x}-1\geq 0$$ равно:
- Рассмотрим функцию:
$$f(x)=\sqrt[4]{15+x}-\sqrt[4]{2-x}-1$$.
$$D(f): -15\leq x\leq 2$$. - Найдем нули функции, решая уравнение
$$\sqrt[4]{15+x}=1+\sqrt[4]{2-x}$$.
Так как функция $$y=\sqrt[4]{15+x}$$ монотонно возрастает, а функция $$y=1+\sqrt[4]{2-x}$$ монотонно убывает, то уравнение имеет не более одного корня.
Убедимся, что $$x=1$$ – корень уравнения:
$$\sqrt[4]{15+1}=1+\sqrt[4]{2-1}$$, $$2=2$$. - Решение неравенства (рис. 5): $$[1;2]$$.
- Сумма целых решений неравенства: $$1+2=3$$.
Введите ответ в поле
Разность наибольших положительного и отрицательного чисел, принадлежащих области определения функции $$f(x)=\sqrt{\frac{24-2x-x^{2}}{(x+1)^{3}}}$$, равна:
- $$\frac{24-2x-x^{2}}{(x+1)^{3}}\geq 0$$,
$$\frac{(x-4)(x+6)}{(x+1)^{3}}\leq 0$$,
откуда $$x\in \left ( -\infty ;-6 \right ]\cup \left (-1;4 \right ]$$ (рис. 8). - $$4+6=10$$.
Введите ответ в поле
Длина отрезка, на котором выполняется неравенство $$5\sqrt[4]x-\sqrt x\geq6$$, равна:
- Запишем неравенство в виде: $$\sqrt x -5\sqrt[4]x+6\leq0$$.
.ОДЗ: $$x\geq0$$. - Найдем нули функции $$f(x)= \sqrt x-5\sqrt[4]x+6$$.
Полагая $$\sqrt[4]x=a$$, получим:
$$a^2-5a+6=0$$, откуда $$a_1=2$$, $$a_2=3$$. Тогда: $$x_1=16$$, $$x_2=81$$. - Решение неравенства (рис. 1): $$[16;81]$$.
- $$81-16=65$$.
Введите ответ в поле
Наибольшее целое число, которое является решением неравенства $$\frac{x+3}{2}-\frac{5x-2}{3}>\frac{4-x}{5}$$, равно:
$$15(x+3)-10(5x-2)>6(4-x)$$,
$$15x+45-50x+20-24+6x>0$$,
$$-29x>-41$$, откуда $$x<1\frac{13}{29}$$.
Следовательно, $$x=1$$.
Введите ответ в поле
Количество натуральных решений неравенства $$\sqrt\frac{7-x}{5}\geq-5$$ равно:
- $$\frac{7-x}{5}\geq0$$, $$7-x\geq0$$, $$x\leq7$$.
- Натуральные решения неравенства: $$1$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$5$$; $$6$$; $$7$$.
Введите ответ в поле