Трансцендентные неравенства КТ 1
Сумма всех целых решений неравенства $$\left | 3x-6 \right |\cdot 5^{\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}}}> 0$$, удовлетворяющих условию $$\left | x \right |< \sqrt{10}$$, равна:
- Неравенство выполняется при $$x> 0$$ и $$x\neq 2$$.
- Так как $$3<\sqrt{10}<4$$, то целыми решениями неравенства на заданном промежутке являются числа $$1$$ и $$3$$.
Введите ответ в поле
Наименьшее составное решение неравенства $$\log _{2}\frac{x+1}{x-1}< \log _{0,5}\frac{x-2}{x+2}$$ равно:
- ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\frac{x+1}{x-1}>0,\\ &\frac{x-2}{x+2}> 0; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$x\in (-\infty ; -2)\cup (2; +\infty )$$ (рис. 1).
- Решение неравенства:
$$\frac{x+1}{x-1}> \frac{x-2}{x+2}$$, $$\frac{6x}{(x-1)(x+2)}> 0$$, $$x\in (2; +\infty )$$ (рис. 2). - Наименьшее составное решение неравенства: $$x=4$$.
Введите ответ в поле
Произведение всех целых решений неравенства $$\log _{0,25}\log _{4}\frac{x+1}{4-x}\leq \log _{0,25}\log _{0,25}\frac{4-x}{1+x}$$ равно:
- ОДЗ: $$\log _{4}\frac{x+1}{4-x}> 0$$, откуда $$\frac{x+1}{4-x}>1$$, $$\frac{2x-3}{4-x}> 0$$, $$x\in (1,5;4)$$ (рис. 3).
- Решение неравенства:
$$\log _{4}\frac{x+1}{4-x}\geq \log _{0,25}\frac{4-x}{1+x}$$,
$$\frac{x+1}{4-x}\geq \frac{x+1}{4-x}$$, следовательно, $$x\in$$ ОДЗ. - Произведение целых решений неравенства: $$2\cdot 3=6$$.
Введите ответ в поле
Наибольшее решение неравенства $$12\sqrt{2}\cdot 6^{2x}-3^{2x+1}\cdot 2^{x+2}\leq 0$$ равно:
- Решение неравенства:
$$12\sqrt{2}\cdot 6^{2x}-3^{2x}\cdot 3\cdot 2^{x}\cdot 4$$,
$$\sqrt{2}\cdot 6^{2x}\leq 3^{2x}\cdot 2^{x}$$,
$$\frac{2^{0,5}\cdot 6^{2x}}{3^{2x}}\leq 2^{x}$$,
$$2^{2x+0,5}\leq 2^{x}$$, $$2x+0,5\leq x$$, $$x\leq -0,5$$. - Наибольшее решение неравенства: $$x=-0,5$$.
Введите ответ в поле
Количество целых чисел, принадлежащих области определения функции $$f(x)=\frac{\sqrt{7-8\cdot 7^{x}+49^{x}}}{\sqrt{x^{2}-16}}$$ и удовлетворяющих условию $$x^{2}\leq 49$$, равно:
- Решим неравенство $$49^{x}-8\cdot 7^{x}+7\geq 0$$.
Найдем корни уравнения $$49^{x}-8\cdot 7^{x}+7= 0$$:
1) $$7^{x}=1$$, откуда $$x=0$$;
2) $$7^{x}=7$$, откуда $$x=1$$.
Решение неравенства, при условии, что $$|x|\le 7$$ (рис. 5):
$$x\in \left [ -7;0 \right ]\cup \left [ 1;7 \right ]$$. - Решим неравенство $$x^{2}-16> 0$$, откуда $$\left | x \right |>4$$.
- Решение системы неравенств: $$x\in \left [-7;4 \right)\cup \left ( 4;7 \right ]$$.
- Целые решения: $$–7$$; $$–6$$; $$–5$$; $$5$$; $$6$$; $$7$$.
Введите ответ в поле
Множество всех решений неравенства $$\lg x+\log _{0,1}(1+x)>\log _{0,1}(x-1)$$ имеет вид:
- ОДЗ: $$x>1$$.
- Решение неравенства:
$$\lg x-\lg(1+x)+\lg(x-1)>0$$,
$$\frac{x(x-1)}{1+x}>1$$, $$\frac{x^{2}-2x-1}{1+x}>0$$,
откуда $$x\in \left ( 1+ \sqrt{2};+\infty \right )$$ (рис. 4).
Выберите один из вариантов
Множество решений неравенства $$5^{-x}+0,2^{x-1}< 0,2^{x}$$ имеет вид:
$$0,2^{x}+0,2^{x}\cdot 5< 0,2^{x}$$,
$$5\cdot 0,2^{x}<0$$,
$$0,2^{x}< 0$$, откуда $$x\in \varnothing$$.
$$5\cdot 0,2^{x}<0$$,
$$0,2^{x}< 0$$, откуда $$x\in \varnothing$$.
Выберите один из вариантов
Сумма целых чисел, которые не являются решениями неравенства $$\log _{\log _{2}x}(x^{2}-10x+25)< 0$$ на отрезке $$[0;7]$$, равна:
- Рассмотрим функцию:
$$f(x)=\log _{\log _{2}x}(x-5)^{2}$$.
$$D(f)$$: $$x>0$$, $$x\neq 5$$, $$\log _{2}x>0$$, $$\log _{2}x\neq 1$$,
откуда $$x>1$$, $$x\neq 2$$ и $$x\neq 5$$.
Нули функции:
$$(x-5)^{2}=1$$, $$x-5=\pm 1$$, откуда $$x=6$$ или $$x=4$$. - Решение неравенства (рис. 6):
$$x\in (1;2)\cup (4;5)\cup (5;6)$$. - Сумма целых чисел, которые не являются решениями неравенства:
$$1+2+3+4+5+6+7=28$$.
Введите ответ в поле