Трансцендентные неравенства КТ 6
Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$(0,1x)^{\lg x-3}<1000$$, равна:
- Запишем неравенство в виде: $$(0,1x)^{\lg x-3}-1000<0$$.
ОДЗ: $$x>0$$. - Найдем нули функции $$f(x)=(0,1x)^{\lg x-3}-1000$$.
Пусть $$\lg x=a$$, тогда $$x=10^{a}$$. Получим:
$$(10^{-1}\cdot 10^{a})^{a-3}-10^{3}=0$$, $$10^{(a-1)(a-3)}=10^{3}$$, $$(a-1)(a-3)=3$$, $$a^{2}-4a=0$$ , откуда $$a=0$$ или $$a=4$$.
Тогда: $$x=1$$ или $$x=10^{4}$$. - Решение неравенства: $$(1;10000)$$ (рис. 9).
- Длина полученного промежутка: $$10000-1=9999$$.
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое целых неположительных решений неравенства $$\textrm{lg}\left(\frac{x}{3}+1\right)\leq-\textrm{lg}\left(\frac{x}{3}+1\right)$$ равно:
- ОДЗ: $$x>-3$$.
- $$2\textrm{lg}\left(\frac{x}{3}+1\right)\leq0$$, $$2\textrm{lg}\left(\frac{x}{3}+1\right)\leq0$$, $$\frac{x}{3}+1\leq1$$, $$x\leq0$$.
- Решение неравенства: $$(-3;0]$$.
- Среднее арифметическое целых неположительных решений:
$$(-2-1+0):3=-1$$.
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое целых чисел, являющихся решениями неравенства $$\sqrt{1000^{x}}+100>\sqrt{100^{x}}+100\sqrt{10^{x}}$$, равно:
- Запишем неравенство в виде:
$$10^{1,5x}-10^{x}-100\cdot 10^{0,5x}+100\leq 0$$. - Найдем нули функции $$f(x)=10^{1,5x}-10^{x}-100\cdot 10^{0,5x}+100$$.
Полагая $$10^{0,5x}=a$$, получим:
$$a^{3}-a^{2}-100a+100=0$$, $$a^{2}(a-1)-100(a-1)=0$$, $$(a-1)(a-10)(a+10)=0$$,
откуда $$a_{1}=1$$, $$a_{2}=10$$, $$a_{3}=-10$$.
Тогда: а) $$10^{0,5x}=1$$, откуда $$x=0$$; б) $$10^{0,5x}=10$$, откуда $$x=2$$. - Решение неравенства (рис. 8): $$[0;2]$$.
Среднее арифметическое целых чисел, являющихся решениями неравенства:
$$(0+1+2):3=1$$.
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое целых решений неравенства $$2^{2x+5}\leq 5^{2x+5}$$, удовлетворяющих условию $$-5< x\leq 3$$, равно:
- Решение неравенства:
$$\frac{2^{2x+5}}{5^{2x+5}}\leq 1$$, $$0,4^{2x+5}\leq 0,4^{0}$$, $$2x+5\geq 0$$, $$x\geq -2,5$$. - Среднее арифметическое целых решений неравенства:
$$(-2-1+0+1+2+3):6=0,5$$.
Введите ответ в поле
Середина промежутка, удовлетворяющего условию $$49\cdot3^\frac{1}{x}\cdot7^\frac{-1}{x}<9$$, равна:
- Решение неравенства:
$$\left(\frac{3}{7}\right)^\frac{1}{x}<\left(\frac{3}{7}\right)^2, \frac{1}{x}>2, \frac{1-2x}{x}>0$$,
откуда $$x\in(0;0,5)$$ (рис. 3). - Середина промежутка $$(0;0,5)$$:
$$(0+0,5):2=0,25$$.
Введите ответ в поле
Сумма целых решений неравенства $$\frac{\textrm{lg}|2-10x|}{2x-x^2+15}>0$$ равна:
- Запишем неравенство в виде:
$$\frac{\textrm{lg}|10x-2|}{x^2-2x-15}<0$$. - Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{\textrm{lg}|10x-2|}{x^2-2x-15}$$.
Нули функции:
а) $$\textrm{lg}|10x-2|=0$$, $$|10x-2|=1$$, $$10x-2=\pm1$$, откуда $$x=0,3$$ или $$x=0,1$$;
б) $$x\ne-3$$, $$x\ne5$$. - Решение неравенства (рис. 4): $$x\in(-3;0,1)\cup(0,3;5)$$.
- Сумма целых решений неравенства:
$$-2-1+0+1+2+3+4=7$$.
Введите ответ в поле
Длина отрезка, являющегося решением неравенства $$25^x-34\cdot15^{x-1}+9^x\leq0$$, равна:
- Запишем неравенство в виде:
$$\frac{25^x}{25^x}-\frac{34\cdot15^x}{15\cdot25^x}+\frac{9^x}{25^x}\leq0$$;
$$15 \cdot 0,6^{2x}-34\cdot 0,6^x+15\leq0$$. - Найдем нули функции $$f(x)=15\cdot0,6^{2x}-34\cdot0,6^x+15$$.
Полагая $$0,6^x=a$$, получим:
$$15a^2-34a+15=0$$, откуда $$a_1=0,6$$, $$a_2=\frac{5}{3}$$.
Решим уравнения:
1) $$0,6^x=0,6$$, откуда $$x=1$$;
2) $$0,6^x=\frac{5}{3}$$, откуда $$x=-1$$. - Решение неравенства (рис. 1): $$[-1;1]$$.
- Длина отрезка: $$1-(-1)=2$$.
Введите ответ в поле
Длина промежутка, который образуют решения неравенства $$\log _{6}(x+2)\geq \log _{6}(x^{2}+1)$$, равна:
- ОДЗ: $$x>-2$$.
- Решение неравенства:
$$x+2\geq x^{2}+1$$, $$x^{2}-x-1\leq 0$$,
$$x\in \left [ \frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right ]$$ (рис. 2). - $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$$.
Выберите один из вариантов