1. Определение степени:
   $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$;
   $$\sqrt{a}=a^\frac{1}{2}$$. 
2.  Свойства логарифмов:
   $$\textrm{log}_{a}a=1$$;
    $$\textrm{log}_{a}b^n=n\cdot \textrm{log}_{a}b$$.

Согласно свойствам логарифмов, запишем:
$$A=1-\textrm{log}_{3}3^{-3}+2(\textrm{log}_{3}3^\frac{1}{2})^2$$,

$$A=1+3\textrm{log}_{3}3+2(\frac{1}{2}\textrm{log}_{3}3)^2$$,

$$A=1+3+2\cdot \frac{1}{4}=4,5$$.

1. $$\textrm{log}_{a}b^n=n\cdot \textrm{log}_{a}b$$;
2.  $$\textrm{log}_{a}bc=\textrm{log}_{a}b+\textrm{log}_{a}c$$;
3.  $$\textrm{log}_{a}b=\frac{\textrm{log}_{c}b}{\textrm{log}_{c}a}$$; 
4.  $$\textrm{log}_{a}b=\frac{1}{\textrm{log}_{b}a}$$.

1. Десятичный логарифм числа $$b$$ записывают $$\textrm{log}_{10}b=\textrm{lg}b$$.
2. Выражения $$\textrm{log}_{b}a$$ и $$\textrm{log}_{a}b$$ взаимно обратные.
   Поэтому, если $$\textrm{log}_{2}5=a$$, то $$\textrm{log}_{5}2=\frac{1}{a}$$.
   Аналогично, так как $$\textrm{log}_{3}5=b$$, то $$\textrm{log}_{5}3=\frac{1}{b}$$.

1. Определения степени:

   $$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$;

   $$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$$.

2. Свойства логарифмов:

   $$\textrm{log}_{a}a=1$$;

   $$\textrm{log}_{a}b^{n}=n\cdot \textrm{log}_{a}b$$;

   $$\textrm{log}_{a^m}b=\frac{1}{m}\textrm{log}_{a}b$$.

Все аргументы и все основания логарифмов мы представили в виде степеней числа $$2$$.

1. $$\textrm{log}_{a}b^n=n\cdot \textrm{log}_{a}b$$; 
2. $$\textrm{log}_{a^m}b=\frac{1}{m}\textrm{log}_{a}b$$; 
3. $$\textrm{log}_{a}b=\frac{1}{\textrm{log}_{b}a}$$.

1. Формула квадрата суммы (разности):
   $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
2. Основное логарифмическое тождество:
   $$a^{\textrm{log}_{a}b}=b$$.
3. Правило раскрытия модуля:
   1) если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем;
   2) если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.

1. Преобразуем выражение под знаком радикала:
   $$3-\sqrt{8}=2-2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}-1)^2$$.
2. Применим основное логарифмическое тождество:
   $$A=7^{\textrm{log}_{7}\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}-5^{\textrm{log}_{5^2}(1-\sqrt{2})^2}$$,

   $$A=7^{\textrm{log}_{7}\left | \sqrt{2}-1 \right |}-5^{\textrm{log}_{5}\left | 1-\sqrt{2} \right |}$$,

   $$A=\left | \sqrt{2}-1 \right |-\left | 1-\sqrt{2} \right |$$,

   $$A=(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{2}-1)=0$$.

1. Аргумент логарифма должен быть положительным.
2. Справедливо равенство:
   $$\sqrt{a^2}=\left | a \right |$$.
3. Выражение $$\sqrt{2}-1$$ положительное, а выражение $$1-\sqrt{2}$$ отрицательное.

Логарифмом числа $$b> 0$$ по основанию $$a$$ $$(a> 0,a\neq 0)$$ называют показатель степени $$c$$, в которую необходимо возвести $$a$$, чтобы получить $$b$$, и записывают:

 $$\textrm{log}_{a}b=c$$ или $$b=a^c$$.

Логарифм отрицательного числа и числа нуль не определен.

1. Так как аргумент логарифма должен быть положительным, то запишем:

   $$\frac{x+1}{(x-3)^2}>0$$, $$\begin{cases}  x+1>0, \\  x-3\neq 0 \end{cases}$$, $$\begin{cases}  x>-1, \\  x\neq 3.\end{cases}$$

   Получим: $$x\in (-1;3)\cup (3;+\infty )$$.

2. Найдем среднее арифметическое целых чисел, принадлежащих области определения данного выражения и не превосходящих число $$5$$:

   $$\frac{0+1+2+4+5}{5}=2,4$$.

1. Десятичный логарифм числа $$b$$ записывают:
   $$\textrm{log}_{10}b$$ или $$\textrm{lg}b$$. 
2.  Число $$a$$ не превосходит число $$a$$.

1. Свойства логарифмов:
   $$\textrm{log}_{a}b^n=n\cdot \textrm{log}_{a}b$$; 
   $$\textrm{log}_{a}b=\frac{1}{\textrm{log}_{b}a}$$.
2.  Основное логарифмическое тождество:
   $$a^{\textrm{log}_{a}b}=b$$.

1.  $$\textrm{log}_{a}a=1$$; 
2.  $$\textrm{log}_{a}1=0$$; 
3.  $$\textrm{log}_{a^m}b=\frac{1}{m}\textrm{log}_{a}b$$; 
4.  $$\textrm{log}_{a}b^n=n\cdot \textrm{log}_{a}b$$. 

1.  $$\textrm{log}_{a}a=1$$; 
2.  $$\textrm{log}_{a}b^n=n\cdot \textrm{log}_{a}b$$;
3.  $$\textrm{log}_{a}bc=\textrm{log}_{a}b+\textrm{log}_{a}c$$; 
4.  $$\textrm{log}_a\frac{b}{c}=\textrm{log}_ab-\textrm{log}_ac$$.