1. Процентом числа называют одну сотую часть этого числа:

   $$1$$% от числа $$a$$ равен $$0,01a$$.

2. Нахождение указанного количества процентов от числа:

   $$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.
   

1. Так как сплав состоит из $$5$$ частей и имеет массу $$10$$ кг, то масса одной части равна $$2$$ кг. Тогда серебра в сплаве будет $$4$$ кг, а меди – $$6$$ кг.
2. Так как массу серебра уменьшили на $$10$$ %, то она составила $$90$$ % от числа $$4$$ или $$0,9$$ от $$4$$ и оказалась равной $$0,9 \cdot 4=3,6$$ (кг).
3. Так как массу меди увеличили на $$10$$ %, то она составила $$110$$ % от числа $$6$$ или $$1,1$$ от $$6$$ и оказалась равной $$1,1 \cdot 6=6,6$$ (кг).
4. Найдем массу нового сплава: $$3,6+6,6=10,2$$ (кг).

Если записать $$p$$% как $$0,01p$$, то $$p$$% от числа $$a$$ равны $$0,01pa$$.

1. Пусть $$\overline{ab1}$$ – исходное число, $$\overline{1bc}$$ – новое число. 
2. Получим уравнение:
   $$\overline{ab1}=\overline{1bc}=81$$, $$(10\cdot \overline{ab}+1)-(100+\overline{ab})=81$$,
   $$9\cdot \overline{ab}=81+99$$, откуда $$\overline{ab}=20$$. 
3. Исходное число: $$\overline{ab1}=10\cdot 20+1=201$$.

1. Пусть $$\overline{x1}$$ – исходное число, $$\overline{1x}$$ – новое число. 
2. Получим уравнение:
   $$\overline{x1}-\overline{1x}=81$$, $$(10x+1)-(10+x)=81$$, $$9x=180$$, откуда $$x=20$$.
3. Исходное число: $$\overline{x1}=10\cdot 20+1=201$$.

1. Узнаем, на сколько цена груш больше цены яблок:
   $$150:5=30$$ (руб.). 
2. Найдем цену груш:
   $$120+30=150$$ (руб.). 
3. Найдем процентное отношение цены яблок и цены груш:
   $$120:150\cdot 100=80$$ (%).

1. Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. 
2. Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают $$k$$.

1. Введем коэффициент пропорциональности $$k$$. 
2. Запишем баллы по предметам:
    1) русский язык: $$3,4k$$; 2) математика: $$3k$$; 3) физика: $$2k$$. 
3. Согласно условию задачи получим уравнение:
   $$3,4k-3k=8$$, откуда $$k=20$$. 
4. Найдем суммарное число баллов, полученных абитуриентом:
   $$3,4k+3k+2k=8,4k=168$$.

1. $$3,4-3=0,4$$ (на сколько частей баллов по русскому языку больше баллов по математике); 
2. $$8:0,4=80:4=20$$ (сколько баллов соответствует одной части); 
3. $$(3,4+3+2) \cdot20=8,4 \cdot20=168$$ (суммарное число баллов).

Нахождение указанного количества процентов от числа:

$$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.

1. Так как свежие грибы содержат по массе $$90$$ % воды, то некого другого вещества они содержат $$10$$ %. 
2. Зная массу свежих грибов, найдем массу вещества:
   $$18:100 \cdot 10=1,8$$ (кг). 
3. Так как сушеные грибы содержат по массе $$10$$ % воды, то вещества они содержат $$90$$ %. 
4. Зная массу вещества, найдем массу сушеных грибов:
   $$1,8:90 \cdot 100 = 2$$ (кг).

1. Пропорцией называется равенство двух отношений:
   $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$. 
2. Свойство пропорции $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$:
   $$a\cdot d=b\cdot c$$.

1. Имеем пропорцию $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$. 
2. Согласно условию задачи:
   $$b=\frac{3}{8}c$$, $$b=\frac{1}{4}a$$, откуда $$c=\frac{8}{3}b$$, $$a=4b$$.
3. Учитывая, что $$a+b+c=23$$, получим:
   $$4b+b+\frac{8b}{3}=23$$, $$15b+8b=23\cdot 3$$, откуда $$b=3$$.
4. Тогда: $$c=\frac{8}{3}\cdot 3=8$$; $$a=4\cdot 3=12$$. 
5. По свойству пропорции: $$12\cdot d=3\cdot 8$$, откуда $$d=2$$.

1. $$a=b\cdot c :d$$; 
2. $$b=a\cdot d:c$$; 
3. $$c=a\cdot d:b$$; 
4. $$d=b\cdot c:a$$.

1. Среднее арифметическое чисел $$a$$ и $$b$$:
   $$\frac{a+b}{2}$$. 
2. Среднее геометрическое положительных чисел $$a$$ и $$b$$:
   $$\sqrt{a\cdot b}$$.

1. Пусть $$a$$ и $$b$$ – искомые числа, где $$a\lt b$$. 
2. Решим систему уравнений:
   $$\begin{cases} \frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}+2,\\ 2\sqrt{ab}=b; \end{cases}$$ $$\begin{cases} a+b=2\sqrt{ab}+4,\\ 2\sqrt{ab}=b; \end{cases}$$ $$\begin{cases} a+b=b+4,\\ 4ab=b^2; \end{cases}$$ $$\begin{cases} a=4,\\ b=16. \end{cases}$$ 
3. Следовательно, большее число равно $$16$$.

1. Среднее арифметическое чисел $$a_1$$, $$a_2$$, …, $$a_n$$:
   $$\frac{a_1+a_2+…+a_n}{n}$$. 
2. Среднее геометрическое положительных чисел $$a_1$$, $$a_2$$, …, $$a_n$$:
   $$\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot …\cdot a_{n}}$$.

1. Обыкновенную дробь записывают в виде $$\frac{a}{b}$$.
2. Дробь $$\frac{a}{b}$$ правильная, если $$a\lt b$$.
3. Дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, если числа $$a$$ и $$b$$ не имеют общих делителей.
   
4. Взаимно обратные дроби: $$\frac{a}{b}$$ и $$\frac{b}{a}$$.

1. Запишем искомую дробь в виде: $$\frac{a}{b}$$.
2. Уменьшим ее числитель на $$2$$, а ее знаменатель – в $$2$$ раза:
   $$\frac{a-2}{b: 2}=\frac{2(a-2)}{b}$$.
3. Запишем дробь, обратную полученной: $$\frac{b}{2(a-2)}$$.
4. Решим уравнение:
   $$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{2(a-2)}=\frac{3}{2}$$, $$\frac{a}{a-2}=\frac{3}{1}$$, $$3a-6=a$$, $$a=3$$.
5. При $$b>3$$ будем получать дроби:
   $$\frac{3}{4}$$, $$\frac{3}{5}$$, $$\frac{3}{7}$$, $$\frac{3}{8}$$ и т. д.

   Наибольшая из них равна $$\frac{3}{4}$$.
   

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньший знаменатель:

$$\frac{a}{b}>\frac{a}{c}$$, если $$b\lt c$$.

Нахождение указанного количества процентов от числа:

$$p$$ % от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.

1. Пусть количество баллов на каждом тестировании увеличивалось на $$x$$ %. 
2. Тогда на втором тестировании количество баллов абитуриента составило:
   $$(100+x)$$ % от $$15$$ или $$\frac{15 \cdot (100+x)}{100}$$. 
3. На третьем тестировании абитуриент получил $$60$$ баллов, что составило:
   $$(100+x)$$ % от $$\frac{15 \cdot (100+x)}{100}$$ или  $$60=\frac{15 \cdot (100+x) \cdot (100+x)}{100 \cdot 100}$$,
   откуда $$4=\frac{(100+x)^2}{100^2}$$, $$(100+x)^2=4 \cdot 100^2$$, $$100+x=2 \cdot 100$$, $$x=100$$.
4. Следовательно, на каждом тестировании количество баллов, полученных абитуриентом, увеличивалось на $$100$$ %.

Уравнение $$(100+x)^2=4 \cdot 100^2$$ имеет два корня:

$$100+x=\pm 2 \cdot 100$$, 

$$x=\pm 2 \cdot 100 - 100$$.

Отрицательный корень уравнения не удовлетворяет условию задачи.

1. Пусть $$\overline{ab}$$ – искомое число. 
2. Согласно условию задачи, запишем:
   $$\begin{cases} a+b=8,\\ \overline{ab}-\overline{ba}=18; \end{cases}$$ $$\begin{cases} a+b=8,\\ 10a+b-10b-a=18;\end{cases} $$ $$\begin{cases} a+b=8,\\ 9a-9b=18; \end{cases} $$ $$\begin{cases} a+b=8,\\ a-b=2. \end{cases}$$ 
3. В результате сложения этих уравнений получим:
   $$2a=10$$, откуда $$a=5$$. Тогда $$b=3$$. 
4. Искомое число $$53$$, а модуль разности его цифр равен $$2$$.