1. Площадь круга радиуса $$r$$ находят по формуле:
   $$S=\pi r^2$$. 
2. Объем шара радиуса $$R$$ находят по формуле:
   $$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$.

1. На рисунке 6: $$r$$ – радиус сечения, а $$R$$ – радиус шара.
   Тогда: $$\pi r^{2}=8\pi$$, $$r^{2}=8$$, $$r=2\sqrt{2}$$.
   
   
2. Так как $$\Delta AOB$$ – равнобедренный ($$\angle B=\angle O=45^{\circ}$$), то $$AB=AO=2\sqrt{2}$$.
3. По теореме Пифагора найдем радиус шара: 
   $$R=\sqrt{AO^{2}+AB^{2}}$$, $$R=\sqrt{8+8}=4$$.
4. Найдем объем шара:
   $$V=\frac{4}{3}\pi\cdot 4^3=\frac{256\pi}{3}$$.

1. Сечение цилиндра, проходящее через его ось, называют осевым. 
2. Объем цилиндра:
    $$V=S_{oc.}\cdot h$$, где $$S_{oc.}=\pi r^2$$.

1. На рисунке 1 квадрат $$ABCD$$ – осевое сечение цилиндра. Тогда, $$h=6$$, а $$r=3$$. 

2. Найдем объем цилиндра: 
   $$V=\pi r^2\cdot h$$, $$V=\pi \cdot9 \cdot6=54\pi$$.

Цилиндром называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, которую называют осью цилиндра.

1. В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
2. Площадь боковой поверхности конуса:
   $$S$$бок.$$=\pi (r_{1}+r_{2})l$$,
   где $$r_{1}$$ и $$r_{2}$$ – радиусы оснований, $$l$$ – образующая конуса.

1. Осевое сечение конуса – равнобокая трапеция $$ABCD$$ с боковой стороной $$l$$ и основаниями $$2r_{1}$$ и $$2 r_{2}$$ (рис. 4). 
2. Так как в трапецию можно вписать окружность, то
   $$2l=2r_{1}+2r_{2}$$, $$l=r_{1}+r_{2}$$.
   Тогда: $$144\pi =\pi (r_{1}+r_{2})l$$, $$144=l^{2}$$ , откуда $$l=12$$.
                                                                       

Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей и ее внешней части.

Радиус шара перпендикулярен касательной плоскости в точке касания.

1. Объем цилиндра: 
   $$V=S_{oc.}\cdot h$$, где $$S_{oc.}=\pi r^2$$. 
2. Площадь поверхности цилиндра:
   $$S_{n.}=2S_{oc.}+S_{\delta o\kappa .}$$, 
   где $$S_{\delta o\kappa .}=2\pi rl$$,  $$r$$ – радиус основания, $$h$$ – высота, $$l$$ – образующая цилиндра. 
3. Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, одна сторона которого равна образующей цилиндра, а другая сторона равна длине окружности его основания. 
4. Длина окружности радиуса $$r$$: 
   $$C=2\pi r$$.

1. Так как $$S_{oc.}=2\pi$$, то $$2\pi=\pi r^2$$, $$2=r^2$$, $$r=\sqrt2$$ – радиус основания цилиндра (рис. 11).
2. Так как $$S_{n.}=2S_{oc.}+S_{\delta o\kappa. }$$, $$S_{n.}=2\pi r(r+l)$$, то 
   $$8\pi=2\pi \sqrt2(\sqrt2+l)$$, $$4=2+\sqrt2l$$, $$\sqrt2l=2$$, $$l=\sqrt2$$ – образующая цилиндра. 
3. Найдем длину окружности, лежащей в основании цилиндра: 
   $$C=2\sqrt2\pi$$. 
4. Найдем периметр развертки боковой поверхности цилиндра (рис. 12): 
   $$P=2(2\sqrt2\pi +\sqrt2)$$, $$P=2\sqrt2(2\pi+1)$$.
                                   

Периметр прямоугольника: 
$$P=2(a+b)$$, где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны.

На рисунке 8: $$\bigtriangleup ABC$$ – осевое сечение конуса; $$R$$ – радиус окружности, вписанной в осевое сечение; $$l$$ - образующая конуса; $$h$$ – высота конуса; $$CO=CK=x$$ – отрезки касательных к окружности.

Два треугольника подобны, если их соответственные углы равны, а стороны – пропорциональны.

1. Площадь поверхности конуса: 
   $$S_{n.}=S_{oc.}+S_{\delta o\kappa. }$$; $$S_{oc.}=\pi r^2$$; $$S_{\delta o\kappa. }=\pi rl$$, 
   где $$r$$ – радиус основания, $$l$$ – образующая цилиндра.
2. Длина окружности радиуса $$r$$: 
   $$C=2\pi r$$.
3. Длина дуги окружности радиуса $$r$$ c центральным углом $$n^{\circ}$$: 
   $$C_{\partial y\imath u}=\frac{2\pi R}{360^{\circ}}n^{\circ}$$.

Радиус кругового сектора, который является разверткой боковой поверхности конуса, равен образующей конуса.

1. Шаром называют фигуру, полученную вращением полукруга вокруг его диаметра.
2. Площадь круга радиуса $$R$$ находят по формуле: 
   $$S=\pi R^2$$.
3. Площадь поверхности шара (площадь сферы) радиуса $$R$$ находят по формуле: 
   $$S=4\pi R^2$$.

1. Найдем радиус шара (рис. 10):
   $$36\pi=\pi R^2$$, $$36=R^2$$, $$R=6$$.
2. Найдем площадь поверхности шара:
   $$S=4\cdot \pi \cdot 6^2=144\pi$$.
                                                               

1. Площадь квадрата:
   $$S=\frac{d^{2}}{2}$$, где $$d$$ – диагональ.
2. Радиус круга, описанного около квадрата:
   $$r=\frac{d}{2}$$.
3. Площадь круга:
   $$S=\pi R^{2}$$ , где $$R$$ – радиус.

На рисунке 7: $$R$$ – радиус шара; $$r$$ – радиус сечения (круга, в который вписан квадрат); $$l$$ – расстояние между плоскостью квадрата и центром шара.

1. Найдем диагональ квадрата:
   $$\frac{d^{2}}{2}=50$$, $$d^{2}=100$$, $$d=10$$.
2. Найдем радиус окружности, описанной около квадрата, а, значит, и радиус сечения шара плоскостью квадрата: 
   $$r=\frac{10}{2}=5$$. 
3. Найдем радиус шара: 
   $$\pi R^{2}=169\pi$$, $$R^{2}=169$$, $$R=13$$. 
4. Найдем расстояние между плоскостью квадрата и центром шара: 
   $$l=\sqrt{R^{2}-r^{2}}$$, $$l=\sqrt{169-25}=12$$.

Сечение шара плоскостью – круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом.

1. Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:
   $$S_{\delta o\kappa. }=\pi rl$$, где $$r$$– радиус основания, $$l$$ – образующая конуса. 
2. Образующую конуса находят по формуле:
   $$l=\sqrt{h^2+r^2}$$, где $$h$$– высота.

1. Найдем образующую конуса (рис. 9): 
   $$l=\sqrt{h^2+r^2}$$, $$l=\sqrt{4^2+3^2}=5$$.
2. Найдем площадь боковой поверхности конуса: 
   $$S_{бок. }=\pi rl$$, $$S_{бок.}=\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$$.
                                                               

Конусом называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, который называют осью конуса.