Функции КТ 4
Количество целых чисел, не превосходящих по абсолютной величине число $$6$$, и принадлежащих области значений функции $$xy=3$$, заданной на интервале $$\left (-3;6 \right )$$, равно:
Имеем функцию $$y=\frac{3}{x}$$ (рис. 1).
Получим числа:
$$-6$$, $$-5$$, $$-4$$, $$-3$$, $$-2$$, $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$.
Если парабола проходит через точки $$\left ( 1;-10 \right )$$ и $$\left ( -1;6 \right )$$, а прямая $$x=2$$ – ось ее симметрии, то разность абсциссы и ординаты ее вершины равна:
Имеем функцию $$f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$$.
Так как $$x_{0}=-\frac{b}{2a}$$, то $$-\frac{b}{2a}=2$$, откуда $$b=-4a$$.
Получим: $$f\left ( x \right )=ax^{2}-4ax+c$$.
Решим систему уравнений:
$$\begin{cases} a-4a+c=-10,\\ a+4a+c=6; \end{cases} \begin{cases} -3a+c=-10,\\ 5a+c=6.\end{cases} $$
Получим: $$5a+3a=6+10$$, откуда $$a=2$$, а $$c=-4$$.
Тогда, $$f\left ( x \right )=2x^{2}-8x-4$$.
Координаты вершины:
$$x_{0}=2$$; $$y_{0}=8-16-4=-12$$.
Следовательно, $$2+12=14$$.
Сумма наименьших периодов функций $$y=\textrm{tg}2x$$ и $$y=-\textrm{ctg}\frac{x}{2}$$ равна:
-
Наименьший период функции $$y=\textrm{tg}2x$$:
$$T=\pi :2=0,5\pi $$. -
Наименьший период функции $$y=-\textrm{ctg}\frac{x}{2}$$:
$$T=\pi: \frac{1}{2}=2\pi $$. - Тогда, $$0,5\pi +2\pi =2,5\pi $$.
- Построим график функции $$y=\frac{2}{x}$$ ($$1$$) (рис. $$2$$):
- Построим график функции $$y=\frac{2}{x-3}$$ ($$2$$):
выполним параллельный перенос графика ($$2$$) вдоль оси $$Ox$$ на $$3$$ единичных отрезка вправо (рис. $$2$$). - Построим график функции $$y=\frac{2}{x-3}-1$$ ($$3$$):
выполним параллельный перенос графика ($$2$$) вдоль оси $$Oy$$ на $$1$$ единичный отрезок вниз (рис. $$3$$). - Найдем точку пересечения графика ($$3$$) с осью $$Ox$$:
$$\frac{2}{x-3}-1=0$$, $$x-3=2$$, $$x=5$$.
Тогда, $$4\cdot 5=20$$.
Число точек пересечения графиков функций $$f\left ( x \right )=\left |\textrm{ tg}x \right |$$ и $$f\left ( x \right )=1-x^{2}$$ равно:
- Построим график функции $$f\left ( x \right )=\left |\textrm{tg}x \right |$$ ($$1$$) (рис. $$4$$).
- Построим график функции $$f\left ( x \right )=1-x^{2}$$ ($$2$$) (рис. $$4$$).
- Графики функций имеют две точки пересечения.
На множестве всех действительных чисел определены функции:
- $$y=\sqrt[3]{x}$$;
- $$y=\sqrt{x}$$;
- $$y=\frac{2}{x}$$;
- $$y=\frac{x}{2}$$;
- $$y=5,5x^{2}+6x-77$$.
Запишем области значений данных функций:
- $$y=\sqrt[3]{x}$$, $$D\left ( f \right ):x \in R$$;
- $$y=\sqrt{x}$$, $$ D\left ( f \right ): x\geq 0$$;
- $$ y=\frac{2}{x} $$, $$ D\left ( f \right ):x \in R/x\neq 0 $$;
- $$y=\frac{x}{2}$$, $$ D\left ( f \right ):x \in R$$;
- $$y=5,5x^{2}+6x-77$$, $$ D\left ( f \right ): x \in R$$.
Если угловой коэффициент прямой равен $$-0,5$$ и она проходит через точку $$M\left ( -2; -1 \right )$$, то этой прямой принадлежит точка:
Имеем прямую $$y=-0,5x+b$$.
Тогда: $$-1=-0,5\cdot \left ( -2 \right )+b$$, откуда $$b=-2$$.
Уравнение прямой: $$y=-0,5x-2$$.
Этой прямой принадлежит точка $$M_{4}\left ( 3;-3,5 \right )$$, так как $$-3,5=-1,5-2$$.
Сумма координат точек пересечения графика функции $$y=0,5^{x}+2$$ с осью ординат и осью абсцисс равна:
- Если $$x=0$$, то $$y=0,5^{0}+2=1+2=3$$.
Точка пересечения графика функции с осью ординат: $$(0;3)$$. - Если $$y=0$$, то $$0=0,5^{x}+2$$, откуда $$0,5^{x}=-2$$.
График функции не пересекает ось абсцисс. - $$0+3=3$$.
Имеют нули функции:
- $$y=\textrm{log}_{7}x$$;
- $$y=0,7^{x}$$;
- $$y=\cos{x}$$;
- $$y=\textrm{arccos}x$$;
- $$y=\textrm{ctg}x$$.
- $$\textrm{log}_{7}x=0$$, откуда $$x=7^{0}=1$$.
- $$0,7^{x}\neq 0$$.
- $$\cos{x}=0$$, откуда $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$, $$n \in \textrm{Z}$$.
- $$\textrm{arccos}x=0$$, откуда $$x=1$$.
- $$y=\textrm{ctg}x$$, откуда $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$, $$n \in \textrm{Z}$$.
Разность наибольшего и наименьшего значений функции $$y=-2\textrm{arccos}x$$ равна:
Область значений функции $$y=\textrm{arccos}x$$:
$$\left [ 0; \pi \right ]$$.
Область значений функции $$y=2\textrm{arccos}x$$:
$$\left [ 0; 2\pi \right ]$$.
Область значений функции $$y=-2\textrm{arccos}x$$:
$$\left [-2\pi;0 \right ]$$.
Тогда, $$0-(-2\pi)=2\pi $$.