Так как $$\frac{d}{2}=\sqrt{2}$$, то $$d=2\sqrt{2}$$.
По формуле $$S=\frac{d^{2}}{2}$$ получим:
$$S=\frac{8}{2}=4$$.

1. Построим график функции $$y=2^{ x }$$ ($$1$$) (рис. $$1$$).
2. Построим график функции $$y=2^{\left | x \right |}$$ ($$2$$):
   часть графика ($$1$$), расположенного правее оси $$Oy$$, оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси (рис. $$2$$).
3. Построим график функции $$y=-2^{\left | x \right |}$$ ($$3$$):
   график ($$2$$) отражаем симметрично оси $$Ox$$ (рис. $$3$$).
4. $$y_{наиб.}=-1$$ (рис. $$3$$).

Запишем области значений данных функций:

1. $$y=\sqrt[3]{x}$$, $$E\left ( f \right ):y \in R$$;
2. $$y=\sqrt{x}$$, $$E\left ( f \right ): y\geq 0$$;
3. $$y=\frac{2}{x}$$, $$E\left ( f \right ):y \in R/y\neq 0$$;
4. $$y=\frac{x}{2}$$, $$E\left ( f \right ): y \in R$$;
5. $$y=5x^{2}+6x+7$$, $$E\left ( f \right ): y \in \left [y_{0}; +\infty \right )$$.

По формуле $$\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\left ( y-y_{0} \right )^{2}=R^{2}$$ получим:
$$\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-0 \right )^{2}=4$$.

Имеем функцию $$f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$$.

1. Составим систему уравнений:
   $$\begin{cases} 25a-5b+c=0,\\ 9a+3b+c=0. \end{cases} $$
   Вычитая уравнения, получим:
   $$16a-8b=0$$, откуда $$b=2a$$, а $$c=-15a$$.
   Тогда, $$f\left ( x \right )=ax^{2}+2ax-15a$$.
2. Координаты вершины параболы:
   $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1$$;
   $$y_{0}=a-2a-15a=-16a$$.
   Так как $$y_{0}=16$$, то $$a=-1$$.
   Тогда: $$b=-2$$; $$c=15$$; $$f\left ( x \right )=-x^{2}-2x+15$$.
3. Точка пересечения графика с осью ординат:
   $$x=0$$, $$y=15$$. Следовательно, $$0+15=15$$.

1. Построим график функции $$f\left (x \right )=\textrm{log}_{2}\left ( x-1 \right )$$ (1) (рис. 4).
2. Построим график функции $$f\left (x \right )=5^{x}$$ (2) (рис. 4).
3. Решение неравенства: $$x\in \left ( 1;+\infty \right )$$.

Следовательно, $$x=2$$.

1. Функция $$y=\cos\left (x+2 \right )$$ ни четная и ни нечетная, так как
   $$D\left ( f \right ): x \in \textrm{R}$$, но $$f\left ( -x \right )=\cos\left (-x+2 \right )$$.
2. Функция $$y=-0,5\sin\sqrt{x}$$ ни четная и ни нечетная, так как
   $$D\left ( f \right ): x\geq 0$$. 
3. Функция $$y=\textrm{ctg}x$$ нечетная, так как
   $$D\left ( f \right ): x\in \textrm{R}/x\neq \pi n$$, $$n \in \textrm{Z}$$ и $$f\left (-x \right )=-\textrm{ctg}x$$.
4. Функция $$y=-0,2^{\left | x \right |}$$ четная, так как
   $$D\left ( f \right ): x \in \textrm{R}$$ и $$f\left (-x \right )=-0,2^{\left | x \right |}$$.
5. Функция $$y=\textrm{ln}x^{2}$$ четная, так как
   $$D\left ( f \right ): x \in \textrm{R}/x\neq 0$$ и $$f\left (-x \right )=\textrm{ln}x^{2}$$.

1. Основной период функции $$y=\cos{x}$$ равен $$2\pi$$.

2. Основной период функции $$y=3\cos\left ( \frac{\pi }{3}-\frac{3x}{2} \right )$$ равен:

$$T=2\pi :\frac{3}{2}=\frac{4\pi }{3}$$.

Имеем прямые: $$x=a$$ и $$y=b$$.
Тогда: $$a=2$$, $$b=-1$$.
Получим: $$x=2$$, $$y=-1$$.