Тождественные преобразования выражений КТ 7
В результате преобразования выражения $$\frac{p - q}{p^{1,5} - q^{1,5}} \cdot \frac{p + q + p^{0,5}q^{0,5}}{p^{0,5} + q^{0,5}}$$ получим:
$$\frac{(p^{0,5} - q^{0,5})(p^{0,5} + q^{0,5})}{(p^{0,5} - q^{0,5})(p + p^{0,5}q^{0,5} + q)} \cdot \frac{p + q + p^{0,5}q^{0,5}}{p^{0,5} + q^{0,5}} = 1$$.
Сумма ближайших целых чисел, между которыми заключено значение выражения $$cos\left(\frac{3\pi}{2} + arccos(-0,25)\right)$$, равна:
$$cos\left(\frac{3\pi}{2} + \pi - arccos0,25\right) = cos\left(\frac{5\pi}{2} - 2\pi - arccos0,25\right) =$$
$$= cos\left(\frac{\pi}{2} - arccos0,25\right) = sin(arccos0,25)$$.
Пусть $$arccos0,25 = \alpha$$, откуда $$cos\alpha = 0,25$$.
Тогда, $$sin\alpha = \sqrt{1 - 0,0625} = \sqrt{0,9375}$$.
Так как $$0 < \sqrt{0,9375} <1$$, то $$0 + 1 = 1$$.
В результате внесения множителей под знак корня $$2mn\sqrt[6]{m^4n^{34}}$$ при условии, что $$m < 0$$ и $$n > 0$$, получим:
$$-\sqrt[6]{m^4n^{34} \cdot 2^6m^6n^6} = -\sqrt[6]{64m^{10}n^{40}}$$.
В результате упрощения выражения $$144^{\frac{1}{2log_612}} - 5^{log_{12}6} + 36^{log_{12}\sqrt[4]{25}}$$ получим:
$$12^{\frac{2}{2log_612}} - 5^{log_{12}6} + 6^{2log_{12}\sqrt{5}} = 12^{log_{12}6} - 6^{log_{12}5} + 6^{log_{12}5} = 6$$.
Разложение многочлена $$b(2a - 16) - b^2(8 - a) - 8 + a$$ на множители имеет вид:
$$2b(a - 8) + b^2(a - 8) + (a - 8) =$$
$$= (a - 8)(2b + b^2 + 1) = (a - 8)(b + 1)^2$$.
Если $$3^{\frac{1}{m}} - 3^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{3}$$, то значение выражения $$\frac{\left(3^{m^{-1}} - 3^{n^{-1}}\right)^2 + 4 \cdot 3^{m^{-1}} \cdot 3^{n^{-1}}}{\left(3^{2m^{-1}} - 3^{2n^{-1}}\right)\left(3^{m^{-1}} + 3^{n^{-1}}\right)}$$ равно:
$$\frac{\left(3^{\frac{1}{m}} - 3^{\frac{1}{n}}\right)^2 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{m}}3^{\frac{1}{n}}}{\left(3^{\frac{2}{m}} - 3^{\frac{2}{n}}\right)\left(3^{\frac{1}{m}} + 3^{\frac{1}{n}}\right)} = \frac{3^{\frac{2}{m}} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{m}}3^{\frac{1}{n}} + 3^{\frac{2}{n}} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{m}}3^{\frac{1}{n}}}{\left(3^{\frac{1}{m}} - 3^{\frac{1}{n}}\right)\left(3^{\frac{1}{m}} + 3^{\frac{1}{n}}\right)^2} =$$
$$= \frac{\left(3^{\frac{1}{m}} + 3^{\frac{1}{n}}\right)^2}{\left(3^{\frac{1}{m}} - 3^{\frac{1}{n}}\right)\left(3^{\frac{1}{m}} + 3^{\frac{1}{n}}\right)^2} = \frac{1}{\left(3^{\frac{1}{m}} + 3^{\frac{1}{n}}\right)} = 1 \cdot 3 = 3$$.
В результате преобразования степени $$\left(\left(8^{\frac{x}{3}}\right)^{x + 1}\right)^{\frac{1 - x}{x}}$$ получим:
$$2^{3\frac{x}{3}(x - 1)\frac{x - 1}{x}} = 2^{1 - x^2}$$.
В результате сокращения дроби $$\frac{log_{\sqrt{6}}\sqrt{7} + log_{36}\left(\sqrt{7}\right)^4}{log_{6^{-3}}49^{-3}}$$ получим:
$$\frac{log_{\sqrt{6}}\sqrt{7} + log_{6^2}7^2}{log_{6^{-3}}7^{-6}} = \frac{log_67 + log_67}{\frac{-6}{-3}log_67} = \frac{2}{2} = 1$$.
Если $$x = \sqrt{5}$$, $$y = \sqrt[3]{5}$$, $$z = \sqrt[4]{5}$$, то значение выражения $$\frac{5x^4zy^{-3}zy(x^2y^3)^3}{12,5(x^4)^2y^{-3}(z^{-1})^{-2}yx^2}$$ равно:
$$\frac{5x^4zy^{-3}zyx^6y^9}{12,5x^8y^{-3}z^2yx^2} = \frac{y^9}{2,5} = \frac{10}{25}\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^9 = \frac{2 \cdot 5^3}{5} = 50$$.
В результате упрощения выражения $$0,5cos4x + sin^22x$$ получим:
$$0,5cos4x + sin^22x = 0,5cos4x + 0,5(1 - cos4x) = 0,5$$.