Уравнения КТ 7
Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$(|x| + 1)(x - 1) = -0,04$$ равна:
-
Если $$x \ge 0$$, то получим:
$$(x + 1)(x - 1) = -0,04$$, $$x^2 = 0,96$$,
$$x_1 = \sqrt{0,96}$$, $$x_2 = -\sqrt{0,96}$$ (посторонний корень).
-
Если $$x < 0$$, то получим:
$$(-x + 1)(x - 1) = -0,04$$,
$$(x - 1)^2 = 0,04$$, $$x - 1 = \pm 0,2$$,
$$x_1 = 1,2$$, $$x_2 = 0,8$$ (посторонние корни).
Сумма целых чисел, между которыми заключен корень (или сумма корней, если корень не единственный) уравнения $$\sqrt[3]{x^2 - 2x - 3} - x = 1$$, равна:
$$\left(\sqrt[3]{x^2 - 2x - 3}\right)^3 = (x + 1)^3$$,
$$(x - 3)(x + 1) = (x + 1)^3$$,
$$(x + 1)(x - 3 - (x + 1)^2) = 0$$,
$$(x + 1)(x^2 + x +4) = 0$$,
откуда $$x = -1$$.
Тогда, $$-2 + 0 = -2$$.
Все действительные корни уравнения $$\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3} = 1$$ принадлежат множеству:
ОДЗ: $$x \ge 2$$.
$$(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3})^2 = 1$$,
$$x - 2 + 2\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 3} + x + 3 = 1$$,
$$\sqrt{(x - 2)(x + 3)} = -x$$, где $$x \le 0$$.
Следовательно, корней нет.
Квадрат корня (или сумма квадратов корней, если корень не единственный) уравнения $$log_{0,5}(x - 5)^2 = log_2\frac{x + 5}{x - 5}$$ равен:
ОДЗ: $$\frac{x + 5}{x - 5} > 0$$.
$$log_2(x - 5)^{-2} = log_2\frac{x + 5}{x - 5}$$,
$$\frac{1}{(x - 5)^2} = \frac{x + 5}{x - 5}$$, $$\frac{1}{x - 5} = x + 5$$,
$$x^2 - 25 = 1$$, откуда $$x = \pm \sqrt{26}$$.
Тогда, $$26 + 26 = 52$$.
Среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения $$sin^2(x - 0,25\pi) = 0,5$$, принадлежащих интервалу $$(-90^{\circ}; 270^{\circ})$$, равно:
$$0,5(1 - cos(0,5\pi - 2x)) = 0,5$$,
$$0,5 - sin2x = 0,5$$, $$sin2x = 0$$, $$x = \frac{\pi n}{2}$$, где $$n \in Z$$.
$$(0^{\circ} + 90^{\circ} + 180^{\circ}) : 3 = 90^{\circ}$$.
Наибольший отрицательный корень уравнения $$ctgx = -\sqrt{3}$$ равен:
$$x = \pi - \frac{\pi}{6} + \pi n$$, $$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$$, где $$x \in Z$$.
При $$n = -1$$ получим: $$x = -\frac{\pi}{6} = -30^{\circ}$$.
Сумма координат всех упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} x^3y - y^3x = -6, \\ x^2y + y^2x = 6, \end{array}\right.$$ равна:
Разложим левые части уравнений на множители:
$$\left\{\begin{array}{l} xy(x - y)(x + y) = -6, \\ xy(x + y) = 6. \end{array}\right.$$
Разделим первое уравнение системы на второе:
$$x - y = -1$$, откуда $$y = x + 1$$.
Подставим это значение во второе уравнение системы:
$$x(x + 1)(2x + 1) = 6$$, $$2x^3 + 3x^2 + x - 6 = 0$$.
Убедимся, что $$x_1 = 1$$ является корнем уравнения:
$$2 + 3 + 1 - 6 = 0$$. Тогда, $$y_1 = 2$$.
Выполним деление многочленов:
Решим уравнение: $$2x^2 + 5x + 6 = 0$$,
откуда $$x \in \varnothing$$, так как $$D = 25 - 48 = -23 < 0$$.
Тогда, $$x_1 + y_1 = 1 + 2 = 3$$.
Корни уравнения $$\frac{5}{x + 1} - \frac{6 - 4x}{(x + 1)(x + 3)} = 3$$ (или корень, если он единственный) принадлежат промежутку:
- ОДЗ: $$x \neq -3$$, $$x \neq -1$$.
- $$\frac{5x + 15 - 6 + 4x}{(x + 1)(x + 3)} = 3$$, $$\frac{3}{x + 3} = 1$$, $$x + 3 = 3$$, $$x = 0$$.
- $$0 \in [-1; 0]$$.
Сумма модулей корней уравнения $$\left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{2x} + \left(4 - \sqrt{15}\right)^x = 8$$ равна:
$$\left(4 + \sqrt{15}\right)^x + \left(4 - \sqrt{15}\right)^x = 8$$.
Пусть $$\left(4 + \sqrt{15}\right)^x = a$$.
Так как $$\left(4 + \sqrt{15}\right)^x \cdot \left(4 - \sqrt{15}\right)^x = 1$$, то $$\left(4 - \sqrt{15}\right)^x = \frac{1}{a}$$.
Получим:
$$a + \frac{1}{a} = 8$$, $$a^2 - 8a + 1 = 0$$,
откуда $$D = 60$$, $$a_1 = 4 - \sqrt{15}$$, $$a_2 = 4 + \sqrt{15}$$.
Решим уравнения:
- $$\left(4 + \sqrt{15}\right)^x = 4 - \sqrt{15}$$, откуда $$x = -1$$;
- $$\left(4 + \sqrt{15}\right)^x = 4 + \sqrt{15}$$, откуда $$x = 1$$.
Тогда, $$|-1| + |1| = 2$$.
Если $$x_0$$ – корень уравнения $$\frac{9^x \cdot 3^{x + 1}}{3^{5x}} = 243$$, то значение выражения $$6^{x_0 + 2}$$ равно:
- $$3^{2x + x + 1 - 5x} = 3^5$$, $$1 - 2x = 5$$, $$x = -2$$.
- $$6^{-2 + 2} = 6^0 = 1$$.