Уравнения КТ 11
Сумма наибольшего и наименьшего корней уравнения $$sin2x + \sqrt{3}cos2x = 2$$ (в градусах), принадлежащих промежутку $$[-\pi; 2\pi]$$, равна:
$$\frac{1}{2}sin2x + \frac{\sqrt{3}}{2}cos2x = 1$$,
$$cos\frac{\pi}{3} \cdot sin2x + sin\frac{\pi}{3} \cdot cos2x = 1$$,
$$sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$$, $$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$,
$$x = \frac{\pi}{12} + \pi n$$, где $$n \in Z$$.
Тогда, $$-\frac{11\pi}{12} + \frac{13\pi}{12} = \frac{\pi}{6} = 30^{\circ}$$.
Количество целых неотрицательных корней уравнения $$|2x - 7| = 7 - 2x$$ равно:
- ОДЗ: $$7 - 2x \ge 0$$, откуда $$x \le 3,5$$.
- $$\left[\begin{array}{l} 2x - 7 = 7 - 2x, \\ 2x - 7 = -7 + 2x; \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} x \in \varnothing, \\ x \in ОДЗ. \end{array}\right.$$
-
Целые неотрицательные решения:
$$0$$, $$1$$, $$2$$, $$3$$.
Произведение корней уравнения $$lg(x^2 - 5)^2 - lg(x + 5) = 1 + lg(x^2 - 5)$$ равно:
ОДЗ: $$x > -5$$ и $$x^2 > 5$$.
$$lg(x^2 - 5)^2 - lg(x + 5) - lg(x^2 - 5) = 1$$,
$$lg\frac{(x^2 - 5)^2}{(x + 5)(x^2 - 5)} = 1$$, $$\frac{x^2 - 5}{x + 5} = 10$$,
$$x^2 - 10x - 55 = 0$$,
откуда $$x_1 = 5 - 4\sqrt{5}$$, $$x_2 = 5 + 4\sqrt{5}$$.
Тогда, $$x_1x_2 = -55$$.
Если корень уравнения $$\left(\sqrt{10}\right)^{2x + 10} = 11^{x + 5}$$ составляет $$40\%$$ некоторого числа, то это число равно:
$$10^{x + 5} = 11^{x + 5}$$, $$\frac{10^{x + 5}}{11^{x + 5}} = 1$$, $$\left(\frac{10}{11}\right)^{x + 5} = \left(\frac{10}{11}\right)^0$$,
откуда $$x = -5$$.
Тогда, $$-5 : 40 \cdot 100 = -12,5$$.
Если $$(x_0; y_0)$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} x + 2y = -0,5, \\ x^2 + 4y = -2, \end{array}\right.$$ то модуль разности чисел $$x_0$$ и $$y_0$$ равен:
-
Умножим первое уравнение на число $$2$$:
$$\left\{\begin{array}{l} 2x + 4y = -1, \\ x^2 + 4y = -2. \end{array}\right.$$
-
Вычитая из второго уравнения системы, первое, получим:
$$x^2 - 2x + 1 = 0$$, $$(x - 1)^2 = 0$$, $$x = 1$$.
- Тогда, $$2 + 4y = -1$$, $$2 + 4y = -0,75$$.
- $$|1 + 0,75| = 1,75$$.
Сумма всех корней уравнения $$\sqrt{x - 1} + \sqrt[3]{2 - x} = 1$$ равна:
ОДЗ: $$x \ge 1$$.
Пусть $$\sqrt{x - 1} = a$$, а $$\sqrt[3]{2 - x} = b$$.
Тогда: $$x - 1 = a^2$$, $$2 - x = b^2$$, $$a^2 + b^2 = 1$$.
Получим систему уравнений:
$$a + b = 1$$, $$a^2 + b^2 = 1$$.
Так как $$a = 1 - b$$, то $$(1 - b)^2 + b^3 = 1$$,
$$1 - 2b + b^2 + b^3 = 1$$, $$b^3 + b^2 - 2b = 0$$,
$$b(b^2 + b - 2) = 0$$, $$b(b + 2)(b - 1) = 0$$,
откуда $$b_1 = 0$$, $$b_2 = -2$$, $$b_3 = 1$$.
Решим уравнения:
- $$\sqrt[3]{2 - x} = 0$$, откуда $$x = 2$$;
- $$\sqrt[3]{2 - x} = -2$$, откуда $$x = 10$$;
- $$\sqrt[3]{2 - x} = 1$$, откуда $$x = 1$$.
Тогда, $$2 + 10 + 1 = 13$$.
Среднее арифметическое корней уравнения $$cosx + 9sin\frac{3\pi + x}{2} = -5$$, принадлежащих интервалу $$(-3\pi ; 4\pi)$$, равно:
-
$$cosx + 9sin(1,5\pi + 0,5x) = -5$$,
$$cos^20,5x - sin^20,5x - 9cos0,5x = -5$$,
$$2cos^20,5x - 9cos0,5x + 4 = 0$$.
Полагая $$cos0,5x = a$$, получим:
$$2a^2 - 9a + 4 = 0$$, откуда $$a_1 = 0,5$$, $$a_2 = 4 > 1$$.
Тогда: $$cos0,5x = 0,5$$; $$0,5x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$;
$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$, где $$n \in Z$$.
-
Отбор корней:
если $$n = 0$$, то $$x_1 = \frac{2\pi}{3}$$, $$x_2 = -\frac{2\pi}{3}$$;
если $$n = 1$$, то $$x = \frac{10\pi}{3}$$.
- $$\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{10\pi}{3}\right) : 3 = \frac{10\pi}{9}$$.
Сумма корней уравнений $$log_2x = -2$$ и $$log_2x^2 = -2$$ равна:
- $$log_2x = -2$$, откуда $$x = 2^{-2} = 0,25$$.
- $$log_2x^2 = -2$$, $$x^2 = 2^{-2} = 0,25$$, откуда $$x = \pm 0,5$$.
- $$0,25 - 0,5 + 0,5 = 0,25$$.
Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{|x - x^2|}{x} = 2$$ равна:
ОДЗ: $$x > 0$$.
$$|1 - x| = 2$$, $$1 - x = \pm 2$$, откуда
$$x_1 = -1 \notin$$ ОДЗ или $$x_2 = 3$$.
Модуль разности корней уравнения $$2\sqrt[3]{3x - 2} - 3\sqrt[6]{3x - 2} + 1 = 0$$ равен:
Полагая $$\sqrt[6]{3x - 2} = a$$, получим:
$$2a^2 - 3a +1 = 0$$, откуда $$D = 1$$, $$a_1 = \frac{1}{2}$$, $$a_2 = 1$$.
Решим уравнения:
- $$\sqrt[6]{3x - 2} = \frac{1}{2}$$, $$3x - 2 = \frac{1}{64}$$, $$x = \frac{43}{64}$$;
- $$\sqrt[6]{3x - 2} = 1$$, $$3x - 2 = 1$$, $$x = 1$$.
Тогда, $$\left|\frac{43}{64} - 1\right| = \frac{21}{64}$$.