1. По формуле $$b_n = b_1q^{n - 1}$$:

   $$\frac{27}{16} = 4q^3$$, откуда $$q = \frac{3}{4}$$.

2. По формуле $$S = \frac{b_1}{1 - q}$$:

   $$S = \frac{4}{1 - \frac{3}{4}} = 4 \cdot 4 = 16$$.

1. По формуле $$a_n = a_1 + d(n - 1)$$:

   $$-2 = -3 + 4d$$, откуда $$d = 0,25$$.

2. По формуле $$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$$:

   $$-15,75 = \frac{-6 + 0,25(n - 1)}{2} \cdot n$$,

   $$-31,5 = -6n + 0,25n^2 - 0,25n$$,

   $$0,25n^2 - 6,25n + 31,5 = 0$$,

   $$n^2 - 25n + 126 = 0$$,

   откуда $$D = 121$$, $$n_1 = 7$$, $$n_2 = 18$$.

1. Первая геометрическая прогрессия:

   $$b_1$$, $$b_1q$$, $$b_1q^2$$, $$...$$; $$\frac{b_1}{1 - q} = 4$$.

2. Вторая геометрическая прогрессия:

   $$b_1^2$$, $$b_1^2q^2$$, $$b_1^2q^4$$, $$...$$; $$\frac{b_1^2}{1 - q^2} = 8$$.

3. Третья геометрическая прогрессия:

   $$b_1^3$$, $$b_1^3q^3$$, $$b_1^3q^6$$, $$...$$; $$\frac{b_1^3}{1 - q^3} = x$$.

4. $$\frac{b_1^2}{1 - q^2} : \frac{b_1}{1 - q} = 8 : 4$$; $$\frac{b_1}{1 + q} = 2$$.

5. $$\frac{b_1}{1 - q} : \frac{b_1}{1 + q} = 4 : 2$$;

   $$\frac{1 + q}{1 - q} = 2$$, откуда $$q = \frac{1}{3}$$.

   Тогда, $$b_1 = 2 \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3}$$.

6. $$13x = \frac{13 \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^3}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^3} = \frac{13 \cdot 512}{27 - 1} = 256$$.

$$a_1 = 16$$, $$a_n = 96$$, $$d = 8$$.

По формуле $$a_n = a_1 + d(n - 1)$$:

$$96 = 16 + 18(n - 1)$$, откуда $$n = 11$$.

1. По формуле $$b_n = b_1q^{n - 1}$$:

   $$256 = 8 \cdot q^5$$, откуда $$q = 2$$.

2. По формуле $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$:

   $$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - 2^5)}{1 - 2} = -8 \cdot (-31) = 248$$.

По свойству $$n$$-го члена:

$$b_7 = \sqrt{b_6 \cdot b_8}$$,

$$b_7 = \sqrt{\left(5\sqrt{2} - 1\right) \cdot \left(5\sqrt{2} + 1\right)} = \sqrt{50 - 1} = 7$$.

1. Арифметическая прогрессия:

   $$a_1 = x - d$$, $$a_2 = x$$, $$a_3 = x + d$$.

   Тогда: $$x - d + x + x + d = 9$$, откуда, $$x = 3$$.

   Следовательно, $$a_1 = 3 - d$$, $$a_2 = 3$$ и $$a_3 = 3 + d$$.

2. Геометрическая прогрессия:

   $$b_1 = 3 - d$$, $$b_2 = 3$$, $$b_3 = 7 + d$$.

3. По свойству $$b_2^2 = b_1b_3$$ получим:

   $$(3 - d)(7 + d) = 9$$,

   $$d^2 + 4d - 12 = 0$$,

   откуда $$d_1 = -6$$, а $$d_2 = 2 >0$$ (посторонний корень).

4. Тогда, $$b_1b_2b_3 = 9 \cdot 3 \cdot 1 = 27$$.

Формула $$n$$-го члена:

$$a_n = a_1 + d(n - 1)$$.

Тогда: $$-9 = a_1 - 0,5 \cdot 4$$, откуда $$a_1 = -7$$.

Получим:

$$a_3 \cdot a_8 = (-7 - 0,5 \cdot 2)(-7 - 0,5 \cdot 7) = -8 \cdot (-10,5) = 84$$.

1. Имеем геометрическую прогрессию:

   $$b_1 = \sqrt{2}$$, $$q = \sqrt{2}$$, $$S_n = \frac{2x}{2 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2} - 1}$$, $$ $$.

2. По формуле $$b_n = b_1q^{n - 1}$$:

   $$32 = \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2}\right)^{n - 1}$$, $$\left(\sqrt{2}\right)^{10} = \left(\sqrt{2}\right)^n$$, откуда $$n = 10$$.

3. По формуле $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$:

   $$\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} \cdot \left(1 - \left(\sqrt{2}\right)^{10}\right)}{1 - \sqrt{2}}$$, откуда $$x = \left(\sqrt{2}\right)^{10} - 1 = 31$$.

1. $$a_2 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2}$$.
2. $$a_5 = \frac{(-1)^5}{5} = -\frac{1}{5}$$.
3. $$\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -0,1$$.