Числовые последовательности КТ 2
Ели сумма всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна $$4$$, а знаменатель прогрессии равен $$0,5$$, то сумма квадратов ее членов равна:
-
Первая геометрическая прогрессия:
$$b_1$$, $$b_1q$$, $$b_1q^2$$, $$...$$
Так как $$S = 4$$, то $$\frac{b_1}{1 - 0,5} = 6$$, откуда $$b_1 = 3$$.
-
Вторая геометрическая прогрессия:
$$b_1^2$$, $$b_1^2q^2$$, $$b_1^2q^4$$, $$...$$
$$S = \frac{b_1^2}{1 - q^2} = \frac{9}{1 - 0,25} = 12$$.
Если сороковой член арифметической прогрессии равен $$-15$$, а сорок второй ее член равен $$-21$$, то разность этой прогрессии равна:
Формула $$n$$-го члена:
$$a_n = a_1 + d(n - 1)$$.
Тогда: $$a_{40} = a_1 + 39d$$; $$a_{42} = a_1 + 41d$$.
Вычитая из уравнения $$-21 = a_1 + 41d$$ уравнение $$-15 = a_1 + 39d$$, получим: $$2d = -21 + 15 = -6$$, откуда $$d = -3$$.
Если при делении десятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается $$4$$ и в остатке $$1$$, а при делении двенадцатого члена на четвертый член в частном получается $$2$$ и в остатке $$7$$, то первый член этой прогрессии равен:
Формула n-го члена:
$$a_n = a_1 + d(n - 1)$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{l} \frac{a_{10}}{a_2} = 4 + \frac{1}{a_2},\\\frac{a_{12}}{a_4} = 2 + \frac{7}{a_4};\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} a_{10} = 4a_2 + 1,\\a_{12} = 2a_4 + 7;\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} a_1 + 9d = 4a_1 + 4d + 1,\\a_1 + 11d = 2a_1 + 6d + 7;\end{array}\right. $$ $$\left\{\begin{array}{l} 3a_1 - 5d = -1,\\a_1 - 5d = -7.\end{array}\right.$$
Вычитая уравнения, получим:
$$2a_1 = 6$$, откуда $$a_1 = 3$$.
Если известны члены геометрической прогрессии $$b_2 = 20$$ и $$b_5 = 5\frac{25}{27}$$, а также сумма всех ее членов $$S_n = 72\frac{2}{9}$$, то количество членов этой прогрессии равно:
По формуле $$b_n = b_1q^{n - 1}$$:
$$20 = b_1q$$ и $$\frac{160}{27} = b_1q^4$$.
Разделим второе уравнение на первое:
$$\frac{160}{27 \cdot 20} = q^3$$, откуда $$q = \frac{2}{3}$$.
Тогда, $$b_1 = 20 : \frac{2}{3} = 30$$.
По формуле $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$:
$$\frac{650}{9} = \frac{30\left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1 - \frac{2}{3}}$$,
$$\frac{65}{9} = 3 \cdot \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right) \cdot 3$$,
$$\frac{65}{81} = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$$, $$\left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{16}{81}$$, откуда $$n = 4$$.
Двигаясь вверх по течению реки на весельной лодке первые $$5$$ километров пути со скоростью
$$10$$ км/ч, а каждый следующий километр пути на $$0,5$$ километра медленнее, чем предыдущий, до полной остановки турист пройдет расстояние (в км), равное:
Имеем арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 9,5$$, $$d = -0,5$$, $$a_n = 0,5$$.
По формуле $$a_n = a_1 + d(n - 1)$$:
$$0,5 = 9,5 - 0,5(n - 1)$$, откуда $$n = 19$$.
Тогда, $$S = 5 + S_{19} = 5 + 19 = 24$$.
Сумма трех первых членов числовой последовательности, которая задана формулой $$f(n) = \frac{n}{2n - 1}$$, равна:
Найдем члены последовательности:
$$f(1) = \frac{1}{2 \cdot 1 - 1} = 1$$; $$f(2) = \frac{2}{4 - 1} = \frac{2}{3}$$; $$f(3) = \frac{3}{6 - 1} = \frac{3}{5}$$.
Тогда, $$1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{15 + 10 + 9}{15} = \frac{34}{15}$$.
Если известны члены арифметической прогрессии $$a_5 = 5 - \sqrt{6}$$ и $$a_7 = 5 + \sqrt{6}$$, то ее шестой член равен:
По свойству $$n$$-го члена:
$$a_6 = \frac{a_5 + a_7}{2}$$,
$$a_6 = \frac{5 - \sqrt{6} + 5 + \sqrt{6}}{2} = 5$$.
Значение выражения $$1,5 + 0,75 + 0,375 + ...$$ равно:
Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
$$b_1 = 1,5$$, $$q = 0,5$$.
По формуле $$S = \frac{b_1}{1 - q}$$:
$$S = \frac{1,5}{1 - 0,5} = 3$$.
Если известны $$b_n = \frac{11}{3}$$ и $$b_{n + 2} = \frac{11}{12}$$ члены геометрической прогрессии, то ее знаменатель равен:
По свойству $$n$$-го члена:
$$b_{n + 1} = \sqrt{b_n \cdot b_{n + 2}}$$,
$$b_{n + 1} = \sqrt{\frac{11}{3} \cdot \frac{11}{12}} = \frac{11}{6}$$.
Тогда, $$q = \frac{b_{n + 1}}{b_n} = \frac{11}{6} \cdot \frac{3}{11} = 0,5$$.
Если восьмой член арифметической прогрессии равен $$-10$$, а ее десятый член равен $$-20$$, то сумма членов этой прогрессии с десятого по пятнадцатый равна:
Формула $$n$$-го члена:
$$a_n = a_1 + d(n - 1)$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{l} a_1 + 7d = -10,\\a_1 + 9d = -20.\end{array}\right.$$
Вычитая уравнения, получим:
$$2d = -10$$, откуда $$d = -5$$.
Тогда, $$a_1 = -10 + 35 = 25$$.
По формуле $$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$$:
$$S_9 = \frac{2 \cdot 25 - 8 \cdot 5}{2} \cdot 9 = 45$$;
$$S_{15} = \frac{2 \cdot 25 - 14 \cdot 5}{2} \cdot 15 = -150$$.
Тогда, $$S_{15} - S_9 = -150 - 45 = -195$$.