Стереометрия КТ 1
Сторона квадрата, вписанного в шар, равна $$3\sqrt{2}$$. Если расстояние от центра шара до центра квадрата равно $$4$$, то диаметр шара равен:
- Диагональ квадрата: $$d=\sqrt{18+18}=6$$.
Радиус окружности, описанной около квадрата (рис. 9): $$r=\frac{d}{2}=3$$.
- По теореме Пифагора: $$R=\sqrt{r^2 + d^2}= \sqrt{9+16}=5$$.
- Диаметр шара: $$D=2R=10$$.
В конус вписана полусфера так, что ее большой круг лежит на основании конуса. Если угол при вершине осевого сечения конуса равен $$\frac{\pi}{3}$$, то число процентов, которые составляет площадь поверхности полусферы от площади поверхности конуса, равно:
-
Так как $$\angle ABC = 60^{\circ}$$, то $$\angle OBC = 30^{\circ}$$ (рис. 8).
Тогда, $$BO=2R=h$$.
В треугольнике $$OBC$$:
$$\cos 30^{\circ}=\frac{BO}{BC}$$, $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2R}{BC}$$, откуда $$BC = \frac{4R}{\sqrt{3}} = l$$.
Тогда, $$OC = \frac{2R}{\sqrt{3}} = r$$.
-
Площадь поверхности полуcферы:
$$S=2\pi R^2$$.
Площадь поверхности конуса:
$$S=\pi r^2 + \pi rl=\frac{4\pi R^2}{3} + \frac{8\pi R^2}{3} = 4\pi R^2$$.
Тогда, $$\frac{2\pi R^2}{4\pi R^2} \cdot 100$$% $$= 50$$%.
Сечение цилиндра, радиус основания которого равен
-
Площадь осевого сечения цилиндра (рис. 4):
$$S=2r \cdot l$$, $$18=6 \cdot l$$, откуда $$l=3$$ см.
-
Из теоремы Пифагора:
$$BN=\sqrt{OB^{2} - ON^{2}} = \sqrt{9 - 1} = 2\sqrt{2} (см)$$.
Тогда $$BC=4\sqrt{2}$$ см.
-
Площадь построенного сечения цилиндра:
$$S=BC \cdot l=4\sqrt{2} \cdot 3=12\sqrt{2}$$ (см$$^2$$).
Если площадь сечения, проведенного под углом $$60^{\circ}$$ к радиусу шара, равна $$8\pi$$, то радиус шара равен:
- Так как $$S=\pi r^2$$, то $$8\pi = \pi r^2$$, откуда $$r = 2\sqrt{2}$$.
-
Так как $$\angle B = 60^{\circ}$$ (рис. 5), то $$\angle O = 30^{\circ}$$.
Тогда, $$R=2r=4\sqrt{2}$$.
Если $$r$$ - число ребер, $$v$$ - число вершин, а $$g$$ - число всех граней треугольной призмы, то значение выражения $$(r+v):g$$ равно:
Ребра призмы (рис. 1): $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$, $$AB$$, $$BC$$, $$CA$$, $$A_1B_1$$, $$B_1C_1$$, $$C_1A_1$$.
Вершины призмы: $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$.
Грани призмы: $$ABC$$, $$A_1B_1C_1$$, $$AA_1B_1B$$, $$AA_1C_1C$$, $$BB_1C_1C$$.
Тогда, $$(r+v):g = (9+6):5 = 3$$.
Смежные стороны основания прямого параллелепипеда соответственно равны $$2$$ и $$3$$ и образуют угол $$60^{\circ}$$. Если площадь диагонального сечения, содержащего его большую диагональ, равна $$\sqrt{304}$$, то площадь боковой поверхности параллелепипеда равна:
-
Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$ (рис. 7).
Так как $$\angle BAD=60^{\circ}$$, то $$\angle ADC = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}=\alpha$$.
По теореме косинусов:
$$AC^2 = DA^2 + DC^2 - 2DA \cdot DC \cdot \cos \alpha$$,
$$AC^2 = 4+9+12 \cdot 0,5=19$$, откуда $$AC=\sqrt{19}$$.
- Так как $$S_{AA_{1}C_{1}C} = AC \cdot h$$, то $$\sqrt{304}= \sqrt{19} \cdot h$$, откуда $$h=4$$.
-
Найдем боковую поверхность параллелепипеда:
$$S_{бок.} = P_{осн.} \cdot h$$, $$S_{бок.}=10 \cdot 4 = 40$$.
Если в основании прямой призмы, объем которой равен $$144$$ см$$^{3}$$, лежит треугольник со сторонами $$1$$ дм, $$1$$ дм и $$1,6$$ дм, то площадь боковой поверхности призмы равна:
- По формуле $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$, найдем площадь основания призмы:
$$S=\sqrt{18\cdot 8 \cdot 8 \cdot 2}=48$$ (см$$^2$$) (рис. 3).
- По формуле $$V=S_{осн.} \cdot h$$ получим:
$$144=48 \cdot h$$, откуда $$h=3$$ см.
- По формуле $$S_{бок.}=P_{осн.} \cdot h$$ получим:
$$S_{бок.} = 36 \cdot 3=108$$ (см$$^2$$).
Если основания правильной усеченной пирамиды – треугольники со сторонами $$3$$ и $$6$$, а высота пирамиды равна $$0,5\sqrt{141}$$, то боковая поверхность пирамиды равна:
$$r_{1}=\frac{a_1}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=TP$$;
$$r_{2}=\frac{a_2}{2\sqrt{3}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}=OD$$.
Тогда, $$KD=OD-TP=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
По теореме Пифагора:
$$PD = \sqrt{h^{2}+KD^{2}}= \sqrt{\frac{141}{4}+\frac{3}{4}}=6$$.
Найдём боковую поверхность пирамиды:
$$S=3 \cdot \frac{a_{1}+a_{2}}{2} \cdot PD = 3 \cdot \frac{9}{2} \cdot 6 =81$$.
В шар вписан цилиндр, высота которого в два раза больше радиуса его основания. Если объем цилиндра равен $$4\sqrt{2}\pi$$, то объем шара равен:
-
Объем цилиндра (рис. 6):
$$V=\pi r^2 \cdot 2r$$, $$4 \sqrt{2}\pi=2 \pi r^3$$, откуда $$r=\sqrt{2}$$.
- Радиус шара: $$R=\sqrt{r^2 + r^2}=\sqrt{2}r=2$$.
- Объем шара: $$V=\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{32\pi}{3}$$.
Если все вершины прямоугольного параллелепипеда, измерения которого относятся как $$1 : 2 : 3$$, лежат на поверхности шара, а сумма длин всех его ребер равна $$48$$, то площадь большого сечения шара равна:
- Так как $$4\cdot (k+2k+3k)=48$$ (рис. 2), то $$k=2$$.
Измерения параллелепипеда:
$$a=k=2$$, $$b=2k=4$$, $$c=3k=6$$.
Диагональ параллелепипеда:
$$d=\sqrt{a^2 + b^2 +c^2}= \sqrt{4+16+36}= 2\sqrt{14}$$.
- Радиус шара: $$R=\frac{d}{2}=\sqrt{14}$$.
Площадь большого сечения шара: $$S=\pi R^2 = 14 \pi$$.