Неравенства КТ 3
Середина промежутка, являющегося решением неравенства $$\sqrt{3}^{\sqrt{x}-x}\geq \sqrt{2}^{x-\sqrt{x}}$$ , равна:
1. ОДЗ: $$x\geq0$$ .
2. $$\sqrt{3}^{\sqrt{x}-x}\cdot\sqrt{2}^{\sqrt{x}-x}\geq \sqrt{2}^{x-\sqrt{x}}\cdot\sqrt{2}^{\sqrt{x}-x}$$,
$$\sqrt{6}^{\sqrt{x}-x}\geq 1$$, $$\sqrt{x}-x\geq 0$$,
$$\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\geq 0$$, откуда $$x\in [0;1]$$ (рис. 3).
3. $$(0+1):2=0,5$$ .
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое целых неотрицательных чисел, не удовлетворяющих неравенству $$\sqrt{x^{2}-16x+63}\cdot\log _{x}2\geq 0$$ , равно:
1. ОДЗ: $$x>0$$ , $$x\neq1$$ и $$x^{2}-16x+63\geq 0$$ , откуда
$$x\in (0;1)\cup (1;7]\cup[9;+\infty)$$ (рис. 7).
2. Нули функции $$f(x)=\sqrt{x^{2}-16x+63}\cdot\log _{x}2$$ :
$$x_{1}=7$$ , $$x_{2}=9$$ .
3. Решение неравенства (рис. 8):
$$x\in (1;7]\cup[9;+\infty)$$.
4. $$(0+1+8):3=3$$ .
Введите ответ в поле
Количество неотрицательных чисел, не являющихся решениями неравенства $$x^{3}+25x>10x^{2}$$, равно:
1. $$x^{3}-10x^{2}+25x>0$$ , $$x(x-5)^{2}>0$$ ,
откуда $$x\in (0;5)\cup (5;+\infty )$$ (рис. 1).
2. Не являются решениями неравенства неотрицательные числа 0 и 5.
Выберите один из вариантов
Количество целых положительных решений неравенства $$\left | x^{2}-4x+3 \right |\geq |x^{2}-3x-1|$$ равно:
$$\left ( x^{2}-4x+3 \right )^{2}\geq (x^{2}-3x-1)^{2}$$,
$$(4-x)(2x^{2}-7x+2)\geq 0$$,
$$x\in\left ( -\infty;\frac{7-\sqrt{33}}{4} \right ]\cup \left [\frac{7+\sqrt{33}}{4};4 \right ]$$ (рис. 2).
Целое положительное решение: 4.
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$\sqrt{x^{2}+2x+1}> 2-x$$, не удовлетворяющих условию $$\left | x \right |> 5$$ , равно:
1. $$\left | x+1 \right |> 2-x$$;
$$\left[\ \begin{matrix} x+1>2-x, & \\ x+1<-2+x; & \end{matrix}\right.$$ $$\left[\ \begin{matrix} x>0,5 , & \\ 1<-2; & \end{matrix}\right.$$ $$x>0,5$$ .
2. $$(1+2+3+4+5):5=3$$ .
Выберите один из вариантов
Количество целых решений системы неравенств $$\left\{\begin{matrix}
\begin{aligned}
&\frac{x^{2}-4}{x+2}\leq x-2,\\
&\frac{1}{x}-\frac{6}{x}\geq 1 \end{aligned}
&\end{matrix}\right.$$ равно:
$$\left\{\begin{matrix}
\begin{aligned}
&\frac{x^{2}-4}{x+2}-(x-2)\leq 0,\\
&\frac{5}{x}+1\leq 0;
\end{aligned}
&\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}
\begin{aligned}
&\frac{0}{x+2}\leq 0,\\
&\frac{5+x}{x}\leq 0. \end{aligned}
&\end{matrix}\right.$$
1. Решение первого неравенства системы:
$$x\in R/x\neq -2$$ .
2. Решение второго неравенства системы:
$$x\in [-5;0)$$ (рис.5).
3. Целые решения системы неравенств:
$$–5$$;$$ –4$$;$$ –3$$; $$–1$$.
Введите ответ в поле
Наименьшее целое решение неравенства $$2\sqrt{18^{^x}}+8\cdot3^{x}< 6^{x}$$ равно:
1. Преобразуем неравенство:
$$\frac{2\sqrt{18^{^x}}}{3^{0,5x}\cdot 6^{0,5x}}+\frac{8\cdot3^{x}}{3^{0,5x}\cdot 6^{0,5x}}< \frac{6^{x}}{3^{0,5x}\cdot 6^{0,5x}}$$ ,
$$2+\frac{8}{2^{0,5x}}-2^{0,5x}< 0$$ ,
$$2^{x}-2\cdot2^{0,5x}-8>0$$ .
2. Найдем нули функции $$f(x)=2^{x}-2\cdot2^{0,5x}-8$$ .
Полагая $$2^{0,5x}=a$$ , получим:
$$a^{2}-2a-8=0$$ , откуда $$a_{1}=-2$$ , $$a_{2}=4$$ .
Тогда, $$2^{0,5x}=4$$ , откуда $$x=4$$ .
3. Решение неравенства (рис. 6): $$(4;+\infty )$$ .
Введите ответ в поле
Сумма всех целых положительных чисел, не удовлетворяющих условию
$$\frac{x^{3}}{\left | x-4 \right |}\geq x^{2}-8x+16$$ , равна:
1. Если $$x<4$$ , то $$\frac{x^{3}}{-(x-4)}\geq (x-4)^{2}$$ , $$-x^{3}\geq (x-4)^{3}$$ , $$-x\geq x-4$$ ,
$$x\leq 2$$ – решение неравенства на этом промежутке.
2. Если $$x>4$$ , то $$\frac{x^{3}}{(x-4)}\geq (x-4)^{2}$$ , $$x^{3}\geq (x-4)^{3}$$, $$x\geq x-4$$ , $$0\geq-4$$ ,следовательно, $$x>4$$ – решение неравенства на этом промежутке.
3. Решение неравенства: $$x\in \left ( -\infty;2 \right ]\cup (4;+\infty )$$.
4. $$3+4=7$$ .
Введите ответ в поле
Количество всех целых решений неравенства
$$\sqrt{2+\sqrt{x}}+\sqrt{2-\sqrt{x}}\leq\sqrt{2+x} $$ равно:
1. ОДЗ: $$0< x\leq 4$$ .
2. $$\left (\sqrt{2+\sqrt{x}}+\sqrt{2-\sqrt{x}} \right )^{2}\leq 2+x$$ ,
$$2+\sqrt{x}+2\sqrt{4-x}+2-\sqrt{x}\leq 2+x$$ ,
$$2\sqrt{4-x}\leq x-2$$ , где $$x\geq 2$$ ,
$$16-4x\leq x^{2}-4x+4$$ , $$x^{2}\geq 12$$ , $$\left | x \right |\geq 2\sqrt{3}$$ .
3. Решение неравенства: $$\left | 2\sqrt{3};4 \right |$$ .
4. Целое решение: 4.
Введите ответ в поле
Наименьшее натуральное решение неравенства $$\log _{2^{-1}}(5+x)\geq 2\log_{2^{-1}}(x-5)$$ равно:
1. ОДЗ: $$x>5$$.
2. $$5+x\leq (x-5)^{2} , x^{2}-11x+20\geq 0$$ ,
$$x\in \left [\frac{11+\sqrt{41}}{2};+\infty \right )$$ (рис. 4).
Так как $$\frac{11+\sqrt{41}}{2}\approx 8,7$$ ,то $$x=9$$ .
Выберите один из вариантов