Неравенства КТ 6
Целое неотрицательное решение (или их сумма) неравенства $$\frac{x}{x+2}+\sqrt{\frac{2x}{x+2}}-1,5\sqrt[4]{\frac{2x}{x+2}}>0$$ равно:
1. Рассмотрим функцию: $$f(x)=\frac{x}{x+2}+\sqrt{\frac{2x}{x+2}}-1,5\sqrt[4]{\frac{2x}{x+2}}$$ . 
$$D(f)$$: $$\frac{2x}{x+2}\geq 0$$ , откуда $$x\in (-\infty;-2)\cup \left [ 0;+\infty \right)$$ (рис. 6).
Найдем нули функции.
Полагая $$\sqrt[4]{\frac{2x}{x+2}}=a$$ , получим:
$$a^{4}+2a^{2}-3a=0$$ , $$a(a^{3}+2a-3)=0$$ , $$a(a^{3}-1+2a-2=0)$$ ,
$$a((a-1)(a^{2}+a+1)+2(a-1))=0$$ , $$a(a-1)(a^{2}+a+3)=0$$ ,
откуда $$a_{1}=0$$ , $$a_{2}=1$$ .
Тогда: $$\frac{2x}{x+2}=0$$ , откуда $$x=0$$ ; $$\frac{2x}{x+2}=1$$ , откуда $$x=2$$ .
2. Решение неравенства (рис. 7): $$x\in (-\infty;-2 )\cup (0;2)$$ .
3. Целое неотрицательное решение: $$1$$ .
Введите ответ в поле
Площадь фигуры, удовлетворяющей системе неравенств
$$\left\{\begin{matrix}
\begin{aligned}
&\ \left | y \right |\leq x+1,\\
&\ \left | x \right |\leq 1 ,
\end{aligned}
&\end{matrix}\right.$$ равна:
На промежутке $$x\in \left [ -1;1 \right ]$$ построим прямые
$$y=x+1$$ (1) и $$y=-x-1$$ (2) (рис. 5).
Треугольник $$ABC$$ - решение системы неравенств. 
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$$ .
Введите ответ в поле
Сумма длин промежутков, образующих решение неравенства $$\frac{x^{2}-7x+6}{x^{2}-7}< 0$$ , равна:
1. Решения неравенства (рис. 1):
$$x\in \left ( -\sqrt{7};1 \right )\cup \left ( \sqrt{7};6 \right )$$ . 
2. $$\left ( 1+\sqrt{7} \right )+\left ( 6-\sqrt{7} \right )=7$$ .
Выберите один из вариантов
Наибольшее решение неравенства $$12\sqrt{2}\cdot 6^{2x}-3^{2x+1}\cdot 2^{x+2}\leq 0$$ равно:
$$12\sqrt{2}\cdot 6^{2x}-3^{2x}\cdot 3\cdot 2^{x}\cdot 4$$ , $$\sqrt{2}\cdot 6^{2x}\leq 3^{2x}\cdot 2^{x}$$ ,
$$\frac{2^{0,5}\cdot 6^{2x}}{3^{2x}}\leq 2^{x}$$ , $$2^{2x+0,5}\leq 2^{x}$$ , $$2x+0,5\leq x$$ , $$x\leq -0,5$$ .
Выберите один из вариантов
Наименьшее целое число, принадлежащее области определения функции $$y=\frac{24-2x-x^{2}}{\sqrt{(x+1)^{3}}}$$ , равно:
1. $$x+1>0$$ , откуда $$x>-1$$ .
2. $$x=0$$ .
Введите ответ в поле
Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$5\left | x-2 \right |-\left | 3-x \right |< \left | x+5 \right |$$ , равна:
Решим неравенства на промежутках (рис. 2). 
1. Если $$x\in \left (-\infty ;-5 \right ]$$ , то получим:
$$-5x+10-3+x< -x-5$$ , $$x> 4$$ .
Следовательно, на этом промежутке решений нет.
2. Если $$x\in \left ( -5;2 \right ]$$ , то получим:
$$-5x+10-3+x< x+5$$ , $$x>0,4 $$ .
Следовательно, $$x\in \left ( 0,4;2\right ]$$ .
3. Если $$x\in \left ( 2;3 \right ]$$ , то получим:
$$5x-10-3+x< x+5$$ , $$x< 3,6 $$ .
Следовательно, $$x\in \left ( 2;3 \right ]$$ .
4. Если $$x\in \left ( 3; +\infty \right )$$ , то получим:
$$5x-10+3-x< x+5$$ , $$x<4 $$ .
Следовательно, $$x\in \left [3;4 \right )$$ .
Решение неравенства: $$\left ( 0,4;4 \right )$$ .
Тогда, $$4-0,4=3,6$$ .
Выберите один из вариантов
Множество всех решений неравенства $$\sqrt{x+2}+\sqrt{4+x}< 2$$ образует промежуток:
1. ОДЗ: $$x\geq -2$$ .
2. $$\left ( \sqrt{x+2}+\sqrt{4+x} \right )^{2}< 4$$ ,
$$x+2+2\sqrt{(x+2)(x+4)}+4+x<4$$ ,
$$\sqrt{(x+2)(x+4)}< -x-1$$ , где $$x\leq 1$$ ,
$$x^{2}+6x+8< x^{2}+2x+1$$ , $$x< -1,75$$ .
3. Решение неравенства: $$\left [-2;-1,75 \right )$$ .
Выберите один из вариантов
Сумма всех целых решений неравенства $$\left | 3x-6 \right |\cdot 5^{\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}}}> 0$$ , удовлетворяющих условию $$\left | x \right |< \sqrt{10}$$ , равна:
Неравенство выполняется при
$$x> 0$$ и $$x\neq 2$$ .
Тогда, $$1+3=4$$ .
Введите ответ в поле
Наименьшее составное решение неравенства $$\log _{2}\frac{x+1}{x-1}< \log _{0,5}\frac{x-2}{x+2}$$ равно:
1. ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}
\begin{aligned}
&\frac{x+1}{x-1}>0,\\
&\frac{x-2}{x+2}> 0;
\end{aligned}
&\end{matrix}\right.$$
$$x\in (-\infty ; -2)\cup (2; +\infty )$$ (рис. 3). 
2. $$\frac{x+1}{x-1}> \frac{x-2}{x+2}$$ , $$\frac{6x}{(x-1)(x+2)}> 0$$ , $$x\in (2; +\infty )$$ (рис. 4). Следовательно, $$x=4$$ .
Выберите один из вариантов
Произведение всех целых решений неравенства $$\log _{0,25}\log _{4}\frac{x+1}{4-x}\leq \log _{0,25}\log _{0,25}\frac{4-x}{1+x}$$ равно:
1. ОДЗ: $$\frac{x+1}{4-x}> 0$$ и $$\log _{4}\frac{x+1}{4-x}> 0$$ .
$$\frac{x+1}{4-x}>1$$ , $$\frac{2x-3}{4-x}> 0$$ , $$x\in (1,5;4)$$ (рис. 8). 
2. $$\log _{4}\frac{x+1}{4-x}\geq \log _{0,25}\frac{4-x}{1+x}$$ ,
$$\frac{x+1}{4-x}\geq \frac{x+1}{4-x}$$ ,
следовательно, $$x\in$$ ОДЗ.
3. Тогда, $$2\cdot 3=6$$ .
Введите ответ в поле