Арифметическая прогрессия ИТ
Если девяносто восьмой член арифметической прогрессии равен $$-21$$, а сотый ее член равен $$-15$$, то разность этой прогрессии равна:
Задачу можно решить иначе:
$${\begin{cases}a_{1}+97d=-21,\\a_{1}+99d=-15;\end{cases}}$$
$$2d=-15+21$$, откуда $$d=3$$.
Если при делении шестого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается $$7$$, а при делении девятого члена на второй в частном получается $$11$$ и в остатке $$1$$, то первый член этой прогрессии равен:
Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n=a_1+d(n-1)$$,где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.1. Так как $$\frac{a_{6}}{a_{2}}=7$$, то
$$a_6=7a_2$$,
$$a_1+5d=7(a_1+d)$$,
$$a_1+5d=7a_1+7d$$,$$a_1+8d=11a_1+11d+1$$,
3. Подставляя $$d=-3a_1$$ в уравнение $$3d+10a_1=-1$$, получим:
$$-9a_1+10a_1=-1$$, откуда $$a_1=-1$$.
Если при делении числа $$a$$ на число $$b$$ в частном получают число $$c$$, а в остатке число $$r$$, то записывают:
$$\frac{a}{b}=c+\frac{r}{b}$$ или $$a=bc+r$$.
Сумма трехзначных чисел, не превосходящих число $$150$$ и кратных числу $$4$$, равна:
Сумму $$n$$ первых членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:
$$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$.
Число делится на $$4$$, если две последние цифры в записи этого числа образуют число, которое делится на $$4$$.
Число $$148$$ делится $$4$$, так как число $$48$$ делится $$4$$.
Если два первых члена арифметической прогрессии соответственно равны $$3$$ и $$2$$, то сумма пяти первых членов равна:
Задачу можно решить иначе.
Зная $$a_{1}=3$$ и $$d=-1$$, запишем $$5$$ первых членов прогрессии:
$$3$$; $$2$$; $$1$$, $$0$$; $$-1$$.
Найдем их сумму:
$$3+2+1+0-1=5$$.
Количество всех натуральных двузначных чисел, при делении которых на $$5$$ в остатке получаем $$3$$, равно:
Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n=a_1+d(n-1)$$,где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.
Сумма членов арифметической прогрессии с $$n$$-го по $$m$$-ый равна:
$$S_m-S_{n-1}$$.
Если третий член арифметической прогрессии равен $$-7$$, а второй ее член равен $$-2$$, то пятый член этой прогрессии равен:
- Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, увеличенному на одно и тоже число $$d$$. Число $$d$$ называют разностью арифметической прогрессии.
- Свойство $$n$$-го члена арифметической прогрессии: $$a_{n}=\frac{1}{2}\left ( a_{n-1}+a_{n+1} \right )$$.
Согласно условию задачи:
$$a_{2}=-2$$, а $$a_{3}=-7$$.
Задачу можно решить иначе:
1) $$d=-7+2=-5$$;
2) $$a_{4}=a_{3}+4$$, $$a_{4}=-7-5=-12$$;
3) $$a_{5}=a_{4}+d$$, $$a_{5}=-12-5=-17$$.
Если второй член арифметической прогрессии равен $$-12$$, а ее десятый член равен $$20$$, то сумма членов этой прогрессии с десятого по пятнадцатый равна:
- Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:$$a_n=a_1+d(n-1)$$,где $$a_1$$ – первый член, $$d$$ – разность прогрессии.
- Формула суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии:$$S_n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$.
Сумма членов арифметической прогрессии с $$n$$-го по $$m$$-ый равна:
$$S_m-S_{n-1}$$.
Если третий член арифметической прогрессии равен $$2$$, разность прогрессии равна $$0,5$$, а сумма всех ее членов равна $$27$$, то количество членов прогрессии равно:
Согласно условию задачи:
$$a_{3}=2$$; $$d=0,5$$; $$S_{n}=27$$.
Найдем первый член прогрессии:
$$a_{3}=a_{1}+2d$$,
$$2=a_{1}+1$$, откуда $$a_{1}=1$$.
По формуле суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии получим:
$$27=\frac{2\cdot 1+0,5(n-1)}{2}\cdot n$$,
$$(2+0,5n-0,5)\cdot n=54$$,
$$0,5n^{2}+1,5n-54=0$$,
$$n^{2}+3n-108=0$$,
откуда $$D=441$$, $$n=9$$.
Уравнение $$n^{2}+3n-108=0$$ имеет два действительных корня:
$$n_{1}=\frac{-3+21}{2}=9$$, $$n_{2}=\frac{-3-21}{2}=-12$$.
Число $$-12$$ не удовлетворяет условию задачи, так как количество членов прогрессии не может выражаться отрицательным числом.
Если сумма второго и шестого членов арифметической прогрессии равна $$10$$, а произведение четвертого и пятого равно $$35$$, то разность прогрессии равна:
- Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$ , где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.
Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему, увеличенному на одно и то же число $$d$$.
Если третий член арифметической прогрессии равен $$17$$, а ее шестой член равен $$23$$, то сумма первых десяти членов этой прогрессии равна:
1. Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n=a_1+d(n-1)$$, где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.1. Так как $$a_{3}=17$$ и $$a_{3}=a_{1}+2d$$, а $$a_{6}=23$$ и $$a_{6}=a_{1}+5d$$, то решим систему уравнений:
$$a_{1}+2d=17$$ и $$a_{1}+5d=23$$.
Вычитая из второго уравнения первое, получим:
$$3d=6$$, откуда $$d=2$$.
Тогда $$a_{1}=13$$.
2. Найдем сумму десяти первых членов этой прогрессии:
$$S_{10}=\frac{2a_{1}+9d}{2}\cdot 10$$,
$$S_{10}=2a_{1}+9d\cdot 5$$,
$$S_{10}=(2\cdot 13+ 9\cdot 2)\cdot 5=240$$.
Сумму n первых членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:
$$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$.