Неравенства КТ 10
Множество всех решений неравенства $$\lg x+\log _{0,1}(1+x)>\log _{0,1}(x-1)$$ имеет вид:
1. ОДЗ: $$x>1$$ .
2. $$\lg x-\lg(1+x)+\lg(x-1)>0$$ ,
$$\frac{x(x-1)}{1+x}>1$$ , $$\frac{x^{2}-2x-1}{1+x}>0$$ ,
откуда $$x\in \left ( 1+ \sqrt{2};+\infty \right )$$ (рис. 5).
Выберите один из вариантов
Разность наибольших положительного и отрицательного чисел, принадлежащих области определения функции $$f(x)=\sqrt{\frac{24-2x-x^{2}}{(x+1)^{3}}}$$ , равна:
1. $$\frac{24-2x-x^{2}}{(x+1)^{3}}\geq 0$$ , $$\frac{(x-4)(x+6)}{(x+1)^{3}}\leq 0$$ ,
откуда $$x\in \left ( -\infty ;-6 \right ]\cup \left (-1;4 \right ]$$ (рис. 6).
2. $$4+6=10$$ .
Введите ответ в поле
Количество целых неотрицательных решений неравенства $$2x^{2}-21\left | x \right |-11\leq 0$$ равно:
Найдем нули функции $$f(x)=2x^{2}-21\left | x \right |-11$$ :
1) $$\left | x \right |=-0,5$$ , откуда $$x\in \varnothing $$ ;
2) $$\left | x \right |=11$$ , откуда $$x=\pm 11$$ .
Решение неравенства (рис.2):
$$ x\in \left [ -11;11 \right ]$$ .
Целые неотрицательные решения:
$$0$$; $$1$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$5$$; $$6$$; $$7$$; $$8$$; $$9$$; $$10$$; $$11$$ .
Выберите один из вариантов
Количество целых чисел, являющихся решениями неравенства $$\frac{3x^{2}-16x+5}{x^{2}-2x-15}\leq 0$$ , равно:
1. Запишем неравенство в виде: $$\frac{(3x-1)(x-5)}{(x+3)(x-5)}\leq 0$$ .
2. Решения неравенства (рис. 1): $$x\in \left(-3;\frac{1}{3} \right ]$$ .
3. Целые решения неравенства: $$–2$$; $$–1$$; $$0$$ .
Выберите один из вариантов
Число целых положительных решений неравенства $$ \sqrt{x^{2}-13x+36}\cdot \sqrt[3]{x-3}\leq 0$$ равно:
1. ОДЗ: $$x^{2}-13x+36\geq 0$$ ,
откуда $$x\in (-\infty ;4]\cup \left [9;+\infty \right )$$ (рис. 3).
2. Решение неравенства (рис. 4):
$$x\in \left (-\infty ;3 \right ]\cup \left \{ 4;9 \right \}$$ .
3. Целые положительные решения: $$1$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$9$$.
Выберите один из вариантов
Количество целых чисел, принадлежащих области определения функции $$f(x)=\frac{\sqrt{7-8\cdot 7^{x}+49^{x}}}{\sqrt{x^{2}-16}}$$ и удовлетворяющих условию $$x^{2}\leq 49$$ , равно:
1. Решим неравенство $$49^{x}-8\cdot 7^{x}+7\geq 0$$ .
Найдем корни уравнения $$49^{x}-8\cdot 7^{x}+7= 0$$ :
$$7^{x}=1$$ , откуда $$x=0$$ ; $$7^{x}=7$$ , откуда $$x=1$$ .
Решение неравенства (рис. 10): $$x\in \left [ -7;0 \right ]\cup \left [ 1;7 \right ]$$ .
2. Решим неравенство $$x^{2}-16> 0$$ , откуда $$\left | x \right |>4$$.
3. Решение системы неравенств: $$x\in \left [-7;4 \right)\cup \left ( 4;7 \right ]$$ .
4. Целые решения: $$–7$$; $$–6$$; $$–5$$; $$5$$; $$6$$; $$7$$ .
Введите ответ в поле
Площадь фигуры (с точностью до целых), удовлетворяющей неравенствам $$\left | x+1 \right |+\left | y-2 \right |\geq 3$$ и $$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\leq 9$$ , равна:
Имеем квадрат и окружность с центрами в точке $$А(-1;2)$$ (рис. 7).
Неравенству $$\left | x+1 \right |+\left | y-2 \right |\geq 3$$ удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных вне квадрата и на его границе.
Неравенству $$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\leq 9$$ удовлетворяют координаты всех точек круга.
По формуле $$S=\frac{d^{2}}{2}$$ найдем площадь квадрата:
$$S=\frac{6^{2}}{2}=18$$ .
По формуле $$S=\pi r^{2}$$ найдем площадь круга: $$S=9\pi$$ .
Тогда, $$S=9\pi -18\approx 9\cdot 3,14-18\approx 10$$ .
Введите ответ в поле
Сумма целых чисел, которые не являются решениями неравенства $$\log _{\log _{2}x}(x^{2}-10x+25)< 0$$ на отрезке $$[0;7]$$ , равна:
1. Рассмотрим функцию:
$$f(x)=\log _{\log _{2}x}(x-5)^{2}$$ .
$$D(f)$$: $$x>0$$ , $$x\neq 5$$ , $$\log _{2}x>0$$ , $$\log _{2}x\neq 1$$ ,
откуда $$x>1$$ , $$x\neq 2$$ и $$x\neq 5$$ .
Нули функции:
$$(x-5)^{2}=1$$ , $$x-5=\pm 1$$ , откуда $$x=6$$ или $$x=4$$ .
2. Решение неравенства (рис. 11):
$$x\in (1;2)\cup (4;5)\cup (5;6)$$ .
3. $$1+2+3+4+5+6+7=28$$ .
Введите ответ в поле
Количество всех целых решений системы неравенств $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \sqrt{5x-x^{2}}\leq 5-x,\\ &\ 2\sqrt{5-x}\geq \sqrt{5x-x^{2}} \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ равно:
1. ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ 5x-x^{2}\geq 0,\\ &\ 5-x\geq 0; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$
$$0\leq x\leq 5$$ .
2. Решение первого неравенства системы:
$$5x-x^{2}\leq 25-10x+x^{2}$$ ,
$$2x^{2}-15x+25\geq 0$$ ,
откуда $$x\in [0;2,5]\cup \left \{ 5 \right \}$$ (рис. 8).
3. Решение второго неравенства системы:
$$20-4x\geq 5x-x^{2}$$ ,
$$x^{2}-9x+20\geq 0$$ ,
откуда $$x\in [0;4]\cup \left \{ 5 \right \}$$ (рис. 9).
4. Решение системы неравенств: $$x\in [0;2,5]\cup \left \{ 5 \right \}$$ .
5. Целые решения: $$0$$; $$1$$; $$2$$; $$5$$ .
Введите ответ в поле
Множество решений неравенства $$5^{-x}+0,2^{x-1}< 0,2^{x}$$ имеет вид:
$$0,2^{x}+0,2^{x}\cdot 5< 0,2^{x}$$ ,
$$0,2^{x}< 0$$ , откуда $$x\in \varnothing$$ .
Выберите один из вариантов