Уравнения КТ 15
Сумма наибольшего и наименьшего корней уравнения $$sinx+cosx+sin3x+cos3x=0$$, принадлежащих отрезку $$[-\pi;0,5\pi]$$, равна:
1.$$(sinx+sin3x)+(cosx+cos3x)=0$$,
$$2sin2x\cdot cosx+2cos2x\cdot cosx=0$$,
$$cosx(sin2x+cos2x)=0$$, откуда:
а) $$cosx=0$$, $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, где $$n\in Z$$;
б) $$sin2x=-cos2x$$, $$tg2x=-1$$,
$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi m$$,
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi m}{2}$$, где $$m\in Z$$.
2. Отбор корней:
если $$n=0$$, то $$x=\frac{\pi}{2}$$;
если $$m=-1$$, то $$x=-\frac{5\pi}{8}$$.
3. $$\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{8}=-\frac{\pi}{8}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Модуль суммы всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$x^3+2x^2-3=0$$ равен:
Подберем целый корень уравнения: 
Если $$x=1$$, то $$1+2-3=0$$.
Выполним деление многочленов:
Получим уравнение: $$x^2+3x+3=0$$,
откуда $$x\in\varnothing$$, так как $$D=9-12=-3<0$$.
Введите ответ в поле
Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$2arcsin^2x-5\pi arcsinx+2\pi^2=0$$ равна:
Полагая $$arcsinx=a$$, получим:
$$2a^2-5\pi a+2\pi^2=0$$,
откуда $$a_1=\frac{\pi}{2}$$, $$a_2=2\pi$$.
Так как $$|arcsinx|\leq\frac{\pi}{2}$$, то $$arcsin x=\frac{\pi}{2}$$, $$x=1$$.
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое корней уравнения $$lnlog_2log_5|x+5|=0$$ равно:
$$log_2log_5|x+5|=1$$,
$$log_5|x+5|=2$$,
$$|x+5|=25$$,
откуда $$x+5=5$$ или $$x+5=-5$$.
Тогда, $$x=0$$ или $$x=-10$$.
Получим: $$(0-10):2=-5$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Количество целых решений уравнения $$\frac{x^2}{|1-x|}-|x|=\left|\frac{x}{x-1}\right|$$, принадлежащих промежутку $$(-10;10)$$, равно:
ОДЗ: $$x\neq1$$.
Преобразуем уравнение:
$$|x|^2-|x||x-1|-|x|=0$$,
$$|x|(|x|-|x-1|-1)=0$$,
откуда $$x=0$$ или $$|x|-|x-1|-1=0$$.
Решим уравнение $$|x|-|x-1|-1=0$$ (рис. 2):
1. Если $$x\in(-\infty;0]$$, то получим:
$$-x+x-1-1=0$$, откуда $$-2\neq0$$.
Следовательно, на этом промежутке решений нет.
2. Если $$x\in(0;1)$$, то получим:
$$x+x-1-1=0$$, откуда $$x=1\not\in(0;1)$$.
3. Если $$x\in[1;+\infty)$$, то получим:
$$x-x+1-1=0$$, откуда $$0=0$$.
Следовательно, решением уравнения является промежуток $$[1;+\infty)$$.
Целые решения уравнения на промежутке $$(-10;10)$$:
$$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$$.
Введите ответ в поле
Наименьший составной корень уравнения $$|x|-|2-x|=2$$ равен:
Найдем нули функций, записанных под знаками модулей:
$$x_1=0$$, $$x_2=2$$. 
Решим уравнения на полученных промежутках (рис. 1).
1. Если $$x\in(-\infty;0)$$, то получим:
$$-x-2+x=2$$, $$-2\neq2$$.
Следовательно, на этом промежутке решений нет.
2. Если $$x\in(0;2]$$, то получим:
$$x-2+x=2$$, $$x=2$$ – корень уравнения.
3. Если $$x\in(2;+\infty)$$, то получим:
$$x+2-x=2$$, $$2=2$$.
Следовательно, $$x\in(2;+\infty)$$.
Решение уравнения: $$[2;+\infty)$$ .
Наименьший составной корень уравнения равен $$4$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$(\sqrt2)^{\frac{x+3}{x}}=1$$ равно:
$$(\sqrt2)^{\frac{x+3}{x}}=(\sqrt2)^0$$,
$$\frac{x+3}{x}=0$$,
$$x=-3$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Частное от деления большего корня уравнения $$2\sqrt[5]{\frac{x+2}{x}}+3\sqrt[5]{\frac{-x}{x+2}}=5$$ на его меньший корень равно:
Полагая $$\sqrt[5]{\frac{x+2}{x}}=a$$, получим:
$$2a-\frac{3}{a}=5$$,
$$2a^2-5a-3=0$$,
откуда $$D=49$$, $$a_1=-\frac{1}{2}$$, $$a_2=3$$.
Решим уравнения:
1) $$\sqrt[5]{\frac{x+2}{x}}=-\frac{1}{2}$$, $$\frac{x+2}{x}=-\frac{1}{32}$$, $$32x+64=-x$$, $$x=-\frac{64}{33}$$;
2) $$\sqrt[5]{\frac{x+2}{x}}=3$$, $$\frac{x+2}{x}=243$$, $$x+2=243x$$, $$x=\frac{1}{121}$$.
Тогда, $$-\frac{1}{121}\cdot\frac{33}{64}=-\frac{3}{704}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если корень уравнения $$(\sqrt10)^{2x+10}=11^{x+5}$$ составляет $$40$$ % некоторого числа, то это число равно:
$$10^{x+5}=11^{x+5}$$,
$$\frac{10^{x+5}}{11^{x+5}}=1$$,
$$\left(\frac{10}{11}\right)^{x+5}=\left(\frac{10}{11}\right)^0$$,
откуда $$x=-5$$ .
Тогда, $$-5:40\cdot100=-12,5$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Произведение корней уравнения $$lgx=log_{0,1x}100$$ равно:
ОДЗ: $$x>0$$ и $$\neq10$$.
$$lgx=2log_{0,1x}10$$,
$$lgx=\frac{2}{lg0,1x}$$,
$$lgx=\frac{2}{-1+lgx}$$,
$$lg^2 x-lgx-2=0$$,
откуда $$lgx=2$$ или $$lgx=-1$$.
Получим: $$x=100$$ или $$x=0,1$$.
Тогда, $$100\cdot0,1=10$$.
Введите ответ в поле