Трансцендентные функции ИТ
Сумма наименьших периодов функций $$y=tg(-3x)$$ и $$y=0,5sin\left ( \frac{\pi }{8} +\frac{3x}{2}\right )$$ равна:
- Если $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то наименьший период функции $$y=f(kx)$$ находят по формуле:
$$T=\frac{T_{0}}{\left |k \right |}$$. - Для функции $$y=tg x$$, $$T_{0}=\pi$$.
- Для функции $$y=sin x$$, $$T_{0}=2\pi$$.
Если число $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то числа вида $$n\cdot T_{0}$$, где $$n\in N$$, также являются периодами этой функции.
Наибольшее целое число из области значений функции $$y=-0,2^{x}$$ равно:
- Показательной называют функцию вида $$y=a^{x}$$, где $$a> 0$$ и $$a\neq 0$$. $$D(f):x\in R;
E(f):y\in(0;+\infty )$$. - Если $$a> 1$$, то функция $$y=a^{x}$$ монотонно возрастает, а если $$0< a< 1$$, то функция монотонно убывает.
- Построение графика функции $$y=-f(x)$$: график функции $$y=f(x)$$ отражаем симметрично оси $$Ox$$.
- Построим схематично график функции $$y=0,2^{x}$$ (рис. 2.5).
- Построим график функции $$y=-0,2^{x}$$, отражая симметрично оси $$Ox$$ график функции $$y=0,2^{x}$$ (рис. 2.5).
- Область значений функции $$y=-0,2^{x}$$ промежуток $$(-\infty ;0)$$. Наибольшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$-1$$.
Ось $$Ox$$ – это ось абсцисс, а ось $$Oy$$ – ось ординат.
Наименьшее простое число, принадлежащее области значений функции $$y=2^{\left |x \right |}$$, равно:
- Показательной называют функцию вида $$y=a^{x}$$, где $$a>0$$ и $$a\neq 0$$.
$$D(f):x\in R$$; $$E(f):y\in (0;+\infty )$$. - Если $$a>0$$, то показательная функция монотонно возрастает, а если $$0 < a < 1$$, то функция монотонно убывает.
- Построение графика функции $$y=f(\left |x \right |)$$: часть графика функции $$y=f(x)$$ правее оси $$Oy$$ оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси.
Простые числа делятся только сами на себя и на число $$1$$. Число $$1$$ ни простое и ни составное.
Количество точек пересечения графиков функций $$y=cos 2x$$ и $$y=\frac{1}{\sqrt{5}}$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$ равно:
- Построение графика функции $$y=f(kx)$$: каждую абсциссу точек графика функции $$y=f(x)$$ уменьшаем в $$k$$ раз (сжатие графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$OX$$ при $$k>1$$ и растяжение – при $$0
). - Если $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то наименьший период функции $$y=f(kx)$$ находят по формуле:
$$T=\frac{T_{0}}{\left |k \right |}$$. - Для функции $$y=cos x$$, $$T_{0}=2\pi$$.
- Построим график функции $$y=cos x$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$ (рис. 2.9).
- Построим график функции $$y=cos 2x$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$, найдя ее наименьший период: $$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$$ (рис. 2.10).
- Параллельно оси абсцисс построим прямую $$y=\frac{1}{\sqrt{5}}$$.
- Графики данных функций на отрезке $$[0;2\pi ]$$ пересекаются в четырех точках.
Если функция $$y=f(x)$$ тригонометрическая, то преобразование $$y=f(kx)$$ изменяет период этой функции.
Количество целых чисел, для которых выполняется неравенство $$log_{2}x\leq sin x$$, равно:
$$D(f):x\in (0;+\infty )$$;
- Построим схематически графики функций $$y=log_{2}x$$ и $$y=sin x$$ (рис. 2.13).
- Неравенство $$log_{2}x\leq sin x$$ выполняется на промежутке $$(0;2)$$, так как на этом промежутке график функции $$y=log_{2}x$$ расположен ниже графика функции $$y=sin x$$ . Этому промежутку принадлежит одно целое число: $$1$$.
Значение $$1$$ функция $$y=sin x$$ принимает при $$x=\frac{\pi }{2}<2$$, так как $$sin \frac{\pi }{2}=1$$, а функция $$y=log_{2}x$$ значение $$1$$ принимает при $$x=2$$, так как $$log_{2}2=1$$.
Наибольшее целое число из промежутка, на котором функция $$y=log_{0,5}(-x)$$ отрицательна, равно:
- Логарифмической называют функцию вида $$y=log_{a}x$$, где $$a> 0$$ и $$a\neq 0$$. $$D(f):x\in (0;+\infty ); E(f):y\in R$$.
- Если основание логарифмической функции $$a>1$$, то функция монотонно возрастает, а если $$0, то функция монотонно убывает.
- Построение графика функции $$y=f(-x)$$: график функции $$y=f(x)$$ отражаем симметрично оси $$Oy$$.
- Построим схематически график функции $$y=log_{0,5}(-x)$$ (рис. 2.6).
- Построим график функции$$y=log_{0,5}(-x)$$, отражая симметрично оси $$Oy$$ график функции $$y=log_{0,5}x$$ (рис. 2.6).
- Функция $$y=log_{0,5}(-x)$$ отрицательна на промежутке $$(-\infty ;-1)$$. Наибольшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно: $$-2$$.
Если функция отрицательна, то ее график расположен под осью абсцисс, а если она положительна, то график расположен над осью абсцисс.
Сумма модулей наименьшего и наибольшего целых чисел, принадлежащих области значений функции $$y=arcctg$$ $$x$$ $$-\frac{\pi }{2}$$, равна:
Построение графика функции $$y=f(x)+b$$:
график функции $$y=f(x)$$ сдвигаем вдоль оси $$Oy$$ на $$b$$ единичных отрезков вверх при $$b> 0$$ или вниз при $$b< 0$$.
- Сдвигая график функции, мы сдвигаем и его горизонтальные асимптоты $$y=\pi$$ и $$y=0$$ (прямые, которые график не может пересекать).
- Число $$\pi$$ иррациональное: $$\pi$$$$=3,14159...$$
Полусумма середин промежутков, на которых функции $$y=sin x$$ и $$y=cos x$$ обратимы, равна:
- К обратным тригонометрическим функциям относят функции:
$$y=arcsin x$$, $$y=arccos x$$, $$y=arctg x$$ и $$y=arcctg x$$. - Для функции $$y=sin x$$ обратная функция $$y=arcsin x$$ определена только на отрезке $$\left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$$.
- Для функции $$y=cosx$$ обратная функция $$y=arccosx$$ определена только на отрезке $$[0;\pi ]$$ .
- Найдем середину отрезка$$\left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$$, на котором обратима функция$$y=sin x$$. Получим:
$$\left (-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2} \right )$$$$:2=0$$. - Найдем середину отрезка $$[0;\pi ]$$, на котором обратима функция $$y=cosx$$. Получим:
$$(0+\pi ):2=\frac{\pi }{2}$$. - Найдем полусумму середин отрезков:
$$\left (0+\frac{\pi}{2} \right ) :2=\frac{\pi }{4}$$$$=0,25\pi$$.
- Для функции $$y=tg x$$ обратная функция $$y=arctg x$$ определена только на интервале $$\left (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$$.
- Для функции $$y=ctg x$$ обратная функция $$y=arcctg x$$ определена на интервале $$(0;\pi)$$.
Четными являются функции:
1) $$ f(x)=2tgx^{2}$$;
2) $$ f(x)=3^{x}+3^{-x}$$;
3) $$ f(x)=arcctg x$$;
4) $$ f(x)=lg^{2}x$$;
5) $$ f(x)=2xsin2x$$.
- Числовое множество $$x\in \left \{ \right.R/x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n \left. \right \}$$$$,n\in Z$$ симметричное, так как в нем отсутствуют только пары противоположных чисел: $$\frac{\pi }{2}$$ и $$-\frac{\pi }{2}$$, $$\frac{3\pi }{2}$$ и $$- \frac{3\pi }{2}$$, …
- Множество $$(0;+\infty )$$ не симметричное, так как оно содержит только положительные числа и не содержит чисел им противоположных.
Количество целых чисел, принадлежащих области значений функции $$f(x)=2cos \left (x+\frac{\pi }{3} \right )$$, равно:
- Построение графика функции $$y=kf(x)$$: каждую ординату точки графика функции $$y=f(x)$$ увеличиваем в $$k$$ раз (растяжение графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Oy$$ при $$k>1$$ и сжатие – при $$0
). - Чтобы построить график функции $$y=f(x+a)$$, необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Ox$$ влево на $$a$$ единичных отрезков при $$a>0$$ или вправо при $$a<0$$.
- Функция $$y=cos x$$. $$D(f):x\in R$$, $$E(f): y\in[-1;1]$$.
Эту задачу можно решать и графически.