Текстовые задачи КТ 3
Моторная лодка прошла расстояние $$10$$ км по течению реки и $$8$$ км против течения, затратив на путь против течения на $$30$$ мин больше, чем на путь по течению. Так как скорость течения в $$2$$ раза меньше собственной скорости лодки, то скорость лодки равна:
Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч, а скорость лодки равна $$2x$$ км/ч.
Заполним таблицу:
Решим уравнение:
$$\frac{8}{x}-\frac{10}{3x}=\frac{1}{2}$$; $$\frac{14}{3x}=\frac{1}{2}$$; $$3x=28$$; $$x=\frac{28}{3}$$.
Скорость лодки: $$2x=\frac{56}{3}=18\frac{2}{3}$$ (км/ч).
Если двузначное число в четыре раза больше суммы своих цифр и в полтора раза больше их произведения, то модуль разности его цифр равен:
Пусть $$\overline{ab}$$ – искомое число.
Получим: $$\begin{cases} \overline{ab}=4\left ( a+b \right ),\\ \overline{ab}=1,5ab; \end{cases}
\begin{cases} 10a+b=4a+4b,\\ 10a+b=1,5ab; \end{cases}
\begin{cases} 2a=b,\\ 10a+b=1,5ab. \end{cases} $$
Решим уравнение:
$$10a+2a=3a^{2}$$; $$a^{2}-4a=0$$,
откуда $$a=0$$ (посторонний корень) или $$a=4$$.
Тогда: $$b=8$$; $$\left | 4-8 \right |=4$$.
По окружности одновременно в противоположных направлениях из одной и той же точки движутся два тела, причем скорость первого тела на $$2$$ м/мин меньше скорости второго. Чтобы оказаться в исходной точке, второму телу потребовалось времени в $$1,5$$ раза меньше, чем первому. Так как точки встречаются каждые $$30$$ с, то длина окружности (в метрах) равна:
Пусть $$v_{1}=x$$ (м/мин), а $$v_{2}=x+2$$ (м/мин).
Найдем длину окружности:
$$l=\left ( x+x+2 \right )\cdot 0,5=x+1$$ (м).
Решим уравнение:
$$\frac{l}{v_{1}}=1,5\cdot \frac{l}{v_{2}}$$, $$\frac{1}{v_{1}}=\frac{3}{2v_{2}}$$, $$3v_{1}=2v_{2}$$, $$3x=2\left ( x+2 \right )$$, $$x=4$$.
Тогда, $$l=4+1=5$$ (м).
Сплав весом в $$15$$ кг содержит серебро и медь в отношении $$3:2$$. Если массу серебра увеличить на $$10$$ %, а массу меди уменьшить на $$5$$ % процентов, то масса сплава будет равна:
- $$3k+2k=15$$, откуда $$k=3$$.
- Масса серебра составила $$110$$ % от $$9$$ кг:
$$9\cdot 1,1=9,9$$ (кг). -
Масса меди составила $$95$$ % от $$6$$ кг:
$$6\cdot 0,95=5,7$$ (кг). - Масса нового сплава: $$9,9+5,7=15,6$$ (кг).
Двое рабочих $$45$$ мин выполняли некоторую работу. Оставшуюся часть работы закончил второй рабочий за $$2$$ ч $$15$$ мин. Так как для выполнения всей работы второму рабочему понадобилось бы на $$1$$ ч больше, чем первому, то всю работу он выполнил бы (в часах) за:
Раздельная работа:
Cовместная работа:
Решим уравнение:
$$\frac{3a}{4x}+\frac{3a}{\left ( x+1 \right )}=a$$,
$$\frac{3}{4x}+\frac{3}{\left ( x+1 \right )}=1$$,
$$\frac{5x+1}{4x\left ( x+1 \right )}=\frac{1}{3}$$,
$$4x^{2}+4x=15x+3$$,
$$4x^{2}-11x-3=0$$,
откуда $$D=169$$, $$x_{1}=-0,25$$ (посторонний корень), $$x_{2}=3$$.
Тогда, $$x+1=4$$ (ч).
За $$2$$ кг конфет и $$3$$ кг печенья покупатель уплатил $$60$$ руб. Если бы он купил $$3$$ кг конфет и $$2$$ кг печенья, то ему пришлось бы заплатить на $$5$$ руб. больше. Печенье дешевле конфет:
Пусть цена конфет $$x$$ руб., а цена печенья $$y$$ руб.
Составим систему уравнений:
$$\begin{cases} 2x+3y=60,\\ 3x+2y=65; \end{cases}
\begin{cases} 6x+9y=180,\\ 6x+4y=130. \end{cases} $$
Вычитая из первого уравнения системы второе, получим:
$$5y=50$$, откуда $$y=10$$.
Тогда: $$2x+30=60$$, откуда $$x=15$$.
Следовательно, печенье дешевле конфет на $$5$$ рублей или в $$1,5$$ раза.
На счет в банке в начале года вкладчик внес сумму в размере $$500$$ руб., а в конце года он пополнил счет еще на $$100$$ руб. Так как к концу второго года у него на счете оказалось $$840$$ руб., то число процентов, которые банк начисляет за год, равно:
Пусть банк начисляет за год $$x$$ %.
Сумма на счете в конце первого года составила:
$$\left ( 100+x \right )$$% от $$500$$ или $$\frac{500\cdot \left ( 100+x \right )}{100}$$.
Сумма на счете в начале второго года:
$$\frac{500\cdot \left ( 100+x \right )}{100}+100=\frac{500\cdot \left ( 100+x \right )+10000}{100}$$.
Сумма на счете в конце второго года составила:
$$\left ( 100+x \right )$$% от $$\frac{500\cdot \left ( 100+x \right )+10000}{100}$$ или
$$840=\frac{\left ( 500\cdot \left ( 100+x \right )+10000 \right )\left ( 100+x \right )}{100\cdot 100}$$.
Полагая $$100+x=y$$, получим:
$$840=\frac{\left ( 500y+10000 \right )y}{100\cdot 100}$$, $$500y^{2}+10000y=8400000$$,
$$y^{2}+20y-16800=0$$,
откуда $$D=260^{2}$$, $$y_{1}=-140$$ (посторонний корень), $$y_{2}=120$$.
Тогда, $$x=120-100=20$$ (%).
Сумма двух целых чисел равна $$1246$$. Когда от одного из них отняли последнюю цифру $$4$$, а к другому приписали цифру $$3$$, то получили равные числа. Меньшее из данных чисел равно:
Составим систему уравнений:
$$\begin{cases} \overline{a4}+b=1246,\\ a=\overline{b3}; \end{cases}
\begin{cases} 10a+4+b=1246,\\ a=10b+3. \end{cases} $$
Решим уравнение:
$$100b+30+4+b=1246$$,
$$101b=1212$$, откуда $$b=12$$.
Два пешехода одновременно выходят из одного пункта в противоположных направлениях. Первый пешеход находится в пути $$2$$ ч $$40$$ мин, а второй – $$2$$ ч $$20$$ мин. Так как скорость первого пешехода равна $$5$$ км/ч и в $$1,2$$ раза меньше, чем скорость второго, то средняя скорость их движения равна:
Первый пешеход:
$$v_{1}=5$$ км/ч; $$t_{1}=5\frac{40}{60}=\frac{8}{3}$$ (ч); $$S_{1}=5\cdot \frac{8}{3}=\frac{40}{3}$$ (км).
Второй пешеход:
$$v_{2}=5\cdot 1,2=6$$ (км/ч); $$t_{2}=2\frac{20}{60}=\frac{7}{3}$$ (ч); $$S_{2}=6\cdot \frac{7}{3}=\frac{42}{3}$$ (км).
Средняя скорость движения:
$$v=\frac{S_{1}+S_{2}}{t_{1}+t_{2}}$$; $$v=\frac{\frac{40}{3}+\frac{42}{3}}{\frac{8}{3}+\frac{7}{3}}=\frac{82}{3}\cdot \frac{3}{15}=5\frac{7}{15}$$ (км/ч).
На репетиционном тестировании по математике Саша получил $$63$$ балла, а Маша – $$90$$ баллов. Оценка Саши ниже оценки Маши на:
- $$63:90\cdot 100=70$$ (%) –составляет оценка Саши от оценки Маши.
- $$100-70=30$$ (%).