Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля ИТ
Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$x^2-4\left | x \right |-5\leq 0$$, равна:
Уравнение $$\left | x \right |^2-4\left | x \right |-5=0$$ является квадратным относительно $$\left | x \right |$$. Решать его можно и вводя подстановку $$\left | x \right |=a$$.
Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$\left | 2x+5 \right |\leq 3$$ равно:
Если неравенство имеет вид: $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств:
$$\begin{equation*} \begin{cases} f(x) \le \text{$a$},\\ f(x)\ge \text{$-a$}. \end{cases} \end{equation*} $$
Заменим данное неравенство равносильной системой неравенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases}
2x+5 \le \text{$3$},\\
2x+5\ge \text{$-3$}; \end{cases}
\end{equation*}
$$$$
\begin{equation*}
\begin{cases}
2x \le \text{$-2$},\\
2x\ge \text{$-8$}; \end{cases}
\end{equation*}$$$$
\begin{equation*}
\begin{cases}
x \le \text{$-1$},\\
x\ge \text{$-4$}; \end{cases}
\end{equation*} $$ $$x\in \begin{bmatrix} -4;-1 \end{bmatrix}$$.
Найдем среднее арифметическое целых решений неравенства:
$$\frac{-4-3-2-1}{4}=-2,5$$.
Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы. Тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы.
Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\geq g(x)$$, то оно равносильно совокупности неравенств:
$$\left [\begin{matrix} f(x)\geq a, \hfill \\ f(x)\leq -a. \end{matrix}\right.$$
Заменим данное неравенство равносильной ему совокупностью неравенств:
$$\left [\begin{matrix} 2x-5> 3, \hfill \\ 2x-5< -3; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 2x> 8, \hfill \\ 2x< 2; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x> 4, \hfill \\ x< 1; \end{matrix}\right.$$$$x\in (-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$$.
Найдем сумму целых чисел, которые не являются решениями неравенства:
$$1+2+3+4=10$$.
Чтобы решить совокупность неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства совокупности. Тогда объединение этих множеств и будет решением совокупности.
$$\left | a \right |=a$$, если $$a\geq 0$$ и $$\left | a \right |=-a$$, если $$a<0$$.
Рассмотрим два случая.
1. Если $$x\leq 0$$, то получим:
$$\frac{2-x}{x-2}-6\leq 0$$; $$-\frac{2-x}{x-2}-6\leq 0$$.Поскольку на этом промежутке $$2-x\neq 0$$, то сократив дробь на выражение $$2-x$$, получим $$-1-6\leq 0$$. Так как получили верное числовое неравенство $$-7\leq 0$$, не зависящее от переменной $$x$$, то весь промежуток $$(-\infty ;0]$$ является решением данного неравенства.
- Данное неравенство, хоть и содержит один модуль, но «уединить» его весьма не просто, поэтому мы и решали неравенство методом интервалов.
- Всякое неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, можно решать методом интервалов.
Наименьшее составное решение неравенства $$3\left | 2-x \right |-\left | 2x+3 \right |\leq 3x$$ равно:
- Простыми называют числа, которые делятся только сами на себя и на число $$1$$.
- Составными называют числа, которые можно представить в виде произведения двух и более простых множителей.
- Число $$1$$ не является ни простым, ни составным.
Площадь фигуры (с точностью до целых), удовлетворяющей неравенствам $$\left | x-1 \right |+\left | y+2 \right |\leq 4$$ и $$(x-1)^2+(y+2)^2\geq 4$$, равна:
- Число $$\pi=3,14159...$$ – иррациональное.
- Округляя число $$19,44$$, мы учитывали, что первая в группе отбрасываемых цифр
(цифра $$4$$) меньше $$5$$, следовательно, цифру $$9$$ мы не изменяли.
Решение неравенства $$\left | x^3-8 \right |> x-2$$ имеет вид:
- Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |> g(x)$$, то оно равносильно совокупности неравенств: $$\left [\begin{matrix} f(x)> g(x), \hfill \\ f(x)< -g(x). \end{matrix}\right.$$
- Формула суммы (разности) кубов: $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$.
$$x^2+2x+5>0$$, так как ветви параболы $$y=x^2+2x+5$$ направлены вверх и $$D<0$$.
Решение неравенства $$\left | 2x^2+x-1 \right |\geq \left | 1-2x^2+3x \right |$$ имеет вид:
$$\left | 2x^2+x-1 \right |^2\geq \left | 1-2x^2+3x \right |^2$$;
$$(2x^2+x-1)^2\geq (1-2x^2+3x )^2$$;
$$(2x^2+x-1)^2-(1-2x^2+3x )^2\geq 0$$;
$$(2x^2+x-1-1+2x^2-3x)(2x^2+x-1+1-2x^2+3x)\geq 0$$;
$$(4x^2-2x-2)(4x)\geq 0$$;
$$x(2x^2-x-1)\geq 0$$.
Неравенства $$f(x)\geq g(x)$$ и $$(f(x))^n\geq (g(x))^n$$ равносильны для всех $$n\in N$$ при условии, что функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ неотрицательны.
Количество целых чисел, не принадлежащих множеству решений неравенства $$\left | x^2-5 \right |> 25-x^2$$, равно:
Если неравенство имеет вид: $$\left | f(x) \right |\geq g(x)$$, то оно равносильно совокупности неравенств:
$$\left [\begin{matrix} f(x)\geq g(x), \hfill \\ f(x)\leq -g(x). \end{matrix}\right.$$
Заменим данное неравенство равносильной ему совокупностью неравенств:
$$\left [\begin{matrix} x^2-5> 25-x^2, \hfill \\ x^2-5< -25+x^2; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 2x^2> 30, \hfill \\20< 0;\hfill \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x^2> 15, \hfill \\ x \in \varnothing;\hfill \end{matrix}\right.$$
$$\left | x \right |> \sqrt{15}$$;
$$x\in (-\infty ;-\sqrt{15})\cup (\sqrt{15};+\infty )$$.
Множеству решений неравенства не принадлежат целые числа:
$$-3,-2,-1,0,1,2,3$$.
- Чтобы решить совокупность неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства совокупности. Тогда объединение этих множеств и будет решением совокупности.
- Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\geq g(x)$$, то на функцию $$g(x)$$ не накладываются ограничения.
Не имеют решений неравенства:
1) $$\left | x \right |> 2$$;
2) $$\left | x \right |\geq -2$$;
3) $$\left | x \right |< 0$$;
4) $$\left | x \right |\leq 0$$;
5) $$\left | x \right |\leq -2$$.
Свойство модуля:
$$\left | f(x) \right |\geq 0$$.
- Неравенство $$\left | x \right |> 2$$ имеет решения, так как найдутся положительные числа, превосходящие число $$2$$.
- Неравенство $$\left | x \right |\geq -2$$ имеет решения, так как любое положительное число и число $$0$$ больше отрицательного числа.
- Неравенство $$\left | x \right |< 0$$ не имеет решений, так как любое положительное число и число $$0$$ не меньше числа $$0$$.
- Неравенство $$\left | x \right |\leq 0$$ имеет решение только в том случае, когда $$x=0$$.
- Неравенство $$\left | x \right |\leq -2$$ не имеет решений, так как любое положительное число и число $$0$$ больше отрицательного числа.
Следовательно, не имеют решений неравенства $$3$$ и $$5$$.
Различайте неравенства:
1) неравенство $$\left | x \right |\geq a$$ имеет решения при любом значении $$a$$;
2) неравенство $$\left | x \right |\leq a$$ имеет решения только при неотрицательных значениях $$a$$.