Показательной называют функцию вида $$y=a^x$$, где $$a>0$$ и $$a\neq 1$$.

$$D(f):x\in R$$; $$E(f): y\in (0;+\infty )$$.

1. Неравенство $$5^{-x}\geq 0$$ имеет решения, так как выполняется условие $$5^{-x}>0$$.
2. Неравенство $$5^x\leq 0$$ не имеет решений, так как $$5^x>0$$.
3. Неравенство $$5^x> -1$$ имеет решения, так как любое положительное число всегда больше отрицательного.

4. Неравенство $$5^x\leq -1$$ не имеет решений, так как положительное число не может быть меньше отрицательного.

5. Неравенство $$5^x< 0,5$$ имеет решения, так как найдутся положительные числа, которые меньше числа $$0,5$$.

   Следовательно, не имеют решений неравенства $$2$$ и $$4$$.

Неравенство $$a^{f(x)}\geq b$$ имеет решения при любом значении числа $$b$$, а неравенство $$a^{f(x)}\leq b$$ – только при $$b>0$$.

Если неравенство имеет вид $$a^{f(x)}< a^{g(x)}$$ $$(\leq ,> ,\geq )$$, то при $$0 < a < 1$$ получим $$f(x)>g(x)$$.

Так как $$0,2<1$$, то $$x>2x+3$$, $$-3>x$$, $$x<-3$$.

Наибольшее целое решение неравенства равно $$-4$$.

Знак неравенства $$0,2^x<0,2^{2x+3}$$ заменили на противоположный по смыслу: $$x>2x+3$$.

1. Свойства степеней:
   1. $${(a^n)}^m=a^{nm}$$;
   2. $$a^na^m=a^{n+m}$$.
2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)\leq a,\\ f(x)\geq -a. \end{cases} \end{equation*} $$

1. Запишем неравенство в виде:
   $$4\cdot 4^x+31\cdot 2^x-8>0$$, $$4\cdot 2^{2x}+31\cdot 2^x-8>0$$.
2. Найдем нули функции $$f(x)=4\cdot 2^{2x}+31\cdot 2^x-8$$, полагая $$2^x=a$$:
   $$4a^2+31a-8=0$$, откуда $$D=31^2+16\cdot 8=1089=33^2$$,
   $$a_1=\frac{-31-33}{8}=-8$$, $$a_2=\frac{-31+33}{8}=\frac{1}{4}$$.

   Тогда:

   1. $$2^x=-8$$, откуда $$x\in \varnothing$$;
   2. $$2^x=2^{-2}$$, откуда $$x=-2$$.
3. Согласно рисунку 7.20 запишем: $$x>-2$$.

   

4. Учитывая, что $$\left | x \right |<\sqrt{5}$$, получим промежуток: $$(-2;\sqrt{5})$$.
5. Найдем среднее арифметическое целых чисел, принадлежащих этому промежутку: $$\frac{-1+0+1+2}{4}=0,5$$.

Если область определения выражения $$-$$ множество всех действительных чисел, то ее можно не указывать.

1. Выражение $$\sqrt[2n]{a}$$ определено при $$a\geq 0$$, где $$n\in N$$.
2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)\leq a,\\ f(x)\geq -a. \end{cases} \end{equation*} $$

1. ОДЗ: $$2-x^2\geq 0\Leftrightarrow x^2\leq 2\Leftrightarrow \left | x \right |\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow x\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$$.
2. Так как на ОДЗ $$0,1^{\sqrt{2-x^2}}>0$$, то верно, что $$0,1^{\sqrt{2-x^2}}\geq -10$$. Следовательно, это неравенство выполняется на ОДЗ.
3. Найдем длину промежутка, который образуют решения неравенства: $$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$$.

1. Четное число записывают в виде: $$2n$$, где $$n\in N$$.
2. Различайте записи: $$x^2=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$ и $$x^2\leq a\Leftrightarrow \left | x \right |\leq \sqrt{a}$$.

1. Выражение $$\sqrt[2n]{a}$$ определено при $$a\geq 0$$, где $$n\in N$$.
2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\geq 0$$, то оно равносильно совокупности неравенств $$\left [\begin{matrix} f(x)\geq a, \hfill \\ f(x)\leq -a. \end{matrix}\right.$$

Область определения функции найдем, решая систему неравенств:

$$x^2-16\geq 0$$ и $$7^{2x}-8\cdot 7^x+7>0$$.

1. Найдем решение первого неравенства:

   $$x^2\geq 16$$; $$\left | x \right |\geq 4$$; $$x\in (-\infty ;-4)\cup [4;+\infty )$$.

2. Второе неравенство решим методом интервалов.

   Найдем нули функции $$f(x)=7^{2x}-8\cdot 7^x+7$$.

   Так как по теореме Виета $$7^{x_1}+7^{x_2}=8$$, а $$7^{x_1}\cdot 7^{x_2}=7$$, то получим:

   $$7^{x_1}=7$$, откуда $$x_1=1$$ и $$7^{x_2}=1$$, откуда $$x_2=0$$.

   Согласно рисунку 7.24 запишем решение этого неравенства: $$x\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$$.

   

3. Запишем решение системы неравенств: $$x\in (-\infty ;-4]\cup [4;+\infty )$$.
4. Найдем сумму модулей всех целых чисел, не принадлежащих области определения функции: $$\left | -3 \right |+\left | -2 \right |+\left | -1 \right |+\left | 0 \right |+\left | 1 \right |+\left | 2 \right |+\left | 3 \right |=12$$.

1. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы. Тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы.
2. Различайте записи: $$x^2=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$ и $$x^2\geq a\Leftrightarrow \left | x \right |\geq \sqrt{a}$$.
3. Уравнение $$7^{2x}-8\cdot 7^x+7=0$$ является квадратным относительно $$7^x$$. Решать его можно с помощью подстановки $$7^x=a$$.

1. Если неравенство имеет вид $$a^{f(x)} < g^{f(x)}$$, то при $$0 < a < 1$$ оно равносильно неравенству $$f(x)>g(x)$$.
2. Свойства степеней:
   1. $${(a^n)}^m=a^{nm}$$;
   2. $$ a^na^m=a^{n+m}$$
   3. $$\left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$;
   4. $$a^0=1$$.

1. Запишем неравенство в виде:

   $$2^{\frac{1}{2}(3-2x)}\geq 3^1\cdot 3^{\frac{1}{2}(1-2x)}$$; $$2^{1,5-x}\geq 3^{1+0,5-x}$$; $$2^{1,5-x}\geq 3^{1,5-x}$$.

2. Разделим обе части последнего неравенства на $$3^{1,5-x}$$ и получим:

   $$\frac{2^{1,5-x}}{3^{1,5-x}}\geq 1$$; $$\left(\frac{2}{3}\right)^{1,5-x}\geq \left(\frac{2}{3}\right)^0$$.

3. Так как $$\frac{2}{3}<1$$, то $$1,5-x\leq 0$$, $$-x\leq -1,5$$, $$x\geq 1,5$$.
4. Наименьшее целое решение неравенства равно $$2$$.

1. Умножая обе части неравенства $$-x\leq -1,5$$ на отрицательное число $$-1$$, мы заменили знак неравенства на противоположный по смыслу: $$x\geq 1,5$$.
2. Выполняя деление неравенства $$2^{1,5-x}\geq 3^{1,5-x}$$ на положительное число $$3^{1,5-x}$$, смысловой знак неравенства не изменяли: $$\frac{2^{1,5-x}}{3^{1,5-x}}\geq 1$$.

Свойства степеней:

1. $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$;
2. $$a^na^m=a^{n+m}$$.

1. ОДЗ: $$x\geq 0$$.

2. Запишем неравенство в виде:

   $$5\cdot 5^{\sqrt{x}}-\frac{6\cdot 5}{5^{\sqrt{x}}}+25\leq 0$$; $$5^{\sqrt{x}}-\frac{6}{5^{\sqrt{x}}}+5\leq 0$$.
3. Найдем нули функции $$f(x)=5^{\sqrt{x}}-\frac{6}{5^{\sqrt{x}}}+5$$, полагая $$5^{\sqrt{x}}=a$$:

   $$a-\frac{6}{a}+5=0$$, $$a^2+5a-6=0$$, откуда $$D=25+24=49$$, $$a_1=\frac{-5-7}{2}=-6$$, $$a_2=\frac{-5+7}{2}=1$$.

   Тогда:

   1. $$5^{\sqrt{x}}=-6$$, откуда $$x\in \varnothing$$;
   2. $$5^{\sqrt{x}}=1$$, откуда $$x=0$$.
4. Согласно рисунку 7.21 запишем: $$x=0$$.

   

Поскольку функция $$f(x)=5^{\sqrt{x}}-\frac{6}{5^{\sqrt{x}}}+5$$ не отрицательна на всей своей области определения, и имеет только один нуль, точку $$x=0$$, то неравенство $$5^{\sqrt{x}}-\frac{6}{5^{\sqrt{x}}}+5\leq 0$$ имеет единственное решение $$x=0$$.

1. Выражение $$\sqrt[2n]{a}$$ определено при $$a\geq 0$$, где $$n\in N$$.
2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)\leq a,\\ f(x)\geq -a. \end{cases} \end{equation*} $$
3. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\geq a$$, то оно равносильно совокупности неравенств $$\left [\begin{matrix} f(x)\geq a, \hfill \\ f(x)\leq -a. \end{matrix}\right.$$

1. ОДЗ: $$\frac{x+6}{x}\geq 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-6]\cup (0;+\infty )$$ (рис. 7.23).



2. Так как на ОДЗ $$10^{\sqrt{\frac{x+6}{x}}}>0$$ и $$\left | x-2 \right |>0$$, при $$x\neq 2$$, то решение неравенства имеет вид: $$x\in (-\infty ;-6]\cup (0;2)\cup (2;+\infty )$$.
3. Учитывая, что $$\left | x \right |\leq 7$$, получим: $$[-7;-6]\cup (0;2)\cup (2;7]$$.

4. Запишем целые числа, являющиеся решениями неравенства:

   $$-7$$, $$-6$$, $$1$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$.

Неравенство $$\left | x-a \right |\geq 0$$ выполняется при $$x\in R$$, а неравенство $$\left | x-a \right |>0$$ выполняется при $$x\in (-\infty ;a)\cup (a;+\infty )$$.

Свойства степеней:

1. $$a^na^m=a^{n+m}$$;
2. $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$;
3. $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n$$.

1. Запишем неравенство в виде:
   $$2\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x\cdot 3^x+3\cdot 3^2{x}\leq 0$$.
2. Разделим его на $$2^x\cdot 3^x$$:
   $$\frac{2\cdot 2^{2x}}{2^x\cdot 3^x}-\frac{5\cdot 2^x\cdot 3^x}{2^x\cdot 3^x}+\frac{3\cdot 3^{2x}}{2^x\cdot 3^x}\leq 0$$,
   $$\frac{2\cdot 2^x}{3^x}-5+\frac{3\cdot 3^x}{2^x}\leq 0$$,
   $$2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x-5+3\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x\leq 0$$.
3. Найдем нули функции $$f(x)=2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x-5+3\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x$$, полагая $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=a$$.
   Запишем: $$2a-5+\frac{3}{a}=0$$, $$2a^2-5a+3=0$$,
   откуда $$D=25-24=1$$,
   $$a_1=\frac{5-1}{4}=1$$, $$a_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}$$.

   Тогда:

   1. $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1$$, откуда $$x=0$$;
   2. $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{3}{2}$$, откуда $$x=-1$$.
4. Согласно рисунку 7.22 запишем решение неравенства: $$x\in [-1;0]$$.

   

5. Найдем середину отрезка, являющегося решением неравенства: $$\frac{-1+0}{2}=-0,5$$.

Деление обеих частей неравенства на выражение $$2^x\cdot 3^x$$ возможно, поскольку оно всегда положительное.

1. Если неравенство имеет вид $$a^{f(x)} < g^{f(x)}$$ $$(\leq ,> ,\geq )$$, то при $${a} > 1$$, получим $$f(x) < g(x)$$.
2. Свойство степеней: $${(a^n)}^m=a^{nm}$$.
3. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

Запишем неравенство в виде: $$2^{x^2+1}\leq 2^{2x}$$.

Так как $$2>1$$, то $$x^2+1\leq 2x$$, $$x^2-2x+1\leq 0$$, $$(x-1)^2\leq 0$$, откуда $$x=1$$.

Неравенство $$(x-a)^2\geq 0$$ выполняется на множестве всех действительных чисел, а неравенство $$(x-a)^2\leq 0$$ выполняется только при $$x=a$$.