Текстовые задачи ИТ 1
На первом репетиционном тестировании по математике абитуриент получил $$15$$ баллов, а на втором и третьем тестировании количество баллов увеличивалось на одно и то же число процентов. Так как на третьем тестировании абитуриент получил $$60$$ баллов, то это число процентов равно:
Нахождение указанного количества процентов от числа:
$$p$$ % от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.
Пусть количество баллов на каждом тестировании увеличивалось на $$x$$ %.
Тогда на втором тестировании количество баллов абитуриента составило:
$$(100+x)$$ % от $$15$$ или $$\frac{15 \cdot (100+x)}{100}$$.
На третьем тестировании абитуриент получил $$60$$ баллов, что составило:
$$(100+x)$$ % от $$\frac{15 \cdot (100+x)}{100}$$ или $$60=\frac{15 \cdot (100+x) \cdot (100+x)}{100 \cdot 100}$$, откуда
$$4=\frac{(100+x)^2}{100^2}$$,
$$(100+x)^2=4 \cdot 100^2$$,
$$100+x=2 \cdot 100$$,
$$x=100$$.
Следовательно, на каждом тестировании количество баллов, полученных абитуриентом, увеличивалось на $$100$$ %.
Уравнение $$(100+x)^2=4 \cdot 100^2$$ имеет два корня:
$$100+x=\pm 2 \cdot 100$$,
$$x=\pm 2 \cdot 100 - 100$$.
Отрицательный корень уравнения не удовлетворяет условию задачи.
Оценки по русскому языку, математике и физике, полученные абитуриентом на централизованном тестировании, относятся как $$3,4:3:2$$ соответственно. Так как оценка по русскому языку выше оценки по математике на $$8$$ баллов, то суммарное число баллов, полученных абитуриентом, равно:
Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают $$k$$.
Введем коэффициент пропорциональности $$k$$.
Запишем оценки:
1) русский язык: $$3,4k$$;
2) математика: $$3k$$;
3) физика: $$2k$$.
Согласно условию получим уравнение:$$3,4k-3k=8$$, откуда $$k=20$$.
Найдем суммарное число баллов, полученных абитуриентом:
$$3,4k+3k+2k=8,4k=168$$.
Задачу можно решить иначе:
1) $$3,4-3=0,4$$ (на сколько частей оценка по русскому языку выше оценки по математике);
2) $$8:0,4=80:4=20$$ (сколько баллов соответствует одной части);
3) $$(3,4+3+2) \cdot20=8,4 \cdot20=168$$ (суммарное число баллов).
Сплав весом в $$10$$ кг содержит серебро и медь в отношении $$2:3$$. Если массу серебра уменьшить на $$10$$ %, а массу меди увеличить на столько же процентов, то масса сплава будет равна:
- Процентом числа называют одну сотую часть этого числа:
$$1$$% от числа $$a$$ равен $$0,01a$$.
- Нахождение указанного количества процентов от числа:
$$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.
- Так как сплав состоит из $$5$$ частей и имеет массу $$10$$ кг, то масса одной части равна $$2$$ кг. Тогда серебра в сплаве будет $$4$$ кг, а меди – $$6$$ кг.
- Так как массу серебра уменьшили на $$10$$ %, то она составила $$90$$ % от числа $$4$$ или $$0,9$$ от $$4$$ и оказалась равной
$$0,9 \cdot 4=3,6$$ (кг).
- Так как массу меди увеличили на $$10$$ %, то она составила $$110$$ % от числа $$6$$ или $$1,1$$ от $$6$$ и оказалась равной
$$1,1 \cdot 6=6,6$$ (кг).
- Найдем массу нового сплава:
$$3,6+6,6=10,2$$ (кг).
Если записать $$p$$% как $$0,01p$$, то $$p$$% от числа $$a$$ равны $$0,01pa$$.
Числитель правильной несократимой дроби уменьшили на $$2$$, а ее знаменатель – в $$2$$ раза. Так как произведение этой дроби и дроби, обратной полученной, равно $$1,5$$, то знаменатель наибольшей из них равен:
- Обыкновенную дробь записывают в виде $$\frac{a}{b}$$.
- Дробь $$\frac{a}{b}$$ правильная, если $$a
- Дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, если числа $$a$$ и $$b$$ не имеют общих делителей.
- Запишем искомую дробь в виде
$$\frac{a}{b}$$.
- Уменьшим ее числитель на $$2$$, а ее знаменатель – в $$2$$ раза:
$$\frac{a-2}{b: 2}=\frac{2(a-2)}{b}$$.
- Запишем дробь, обратную полученной:
$$\frac{b}{2(a-2)}$$.
- Решим уравнение:
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{2(a-2)}=\frac{3}{2}$$,
$$\frac{a}{a-2}=\frac{3}{1}$$,
$$3a-6=a$$,
$$a=3$$.
- При $$b>3$$ будем получать дроби:
$$\frac{3}{4}$$, $$\frac{3}{5}$$, $$\frac{3}{7}$$, $$\frac{3}{8}$$ и т. д.
Наибольшая из них равна $$\frac{3}{4}$$.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньший знаменатель:
$$\frac{a}{b}>\frac{a}{c}$$, если $$b
Если от двузначного числа, сумма цифр которого равна $$8$$, отнять число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, и в результате получить $$18$$, то модуль разности цифр искомого числа будет равен:
Если $$a$$ – цифра десятков, $$b$$ – цифра единиц некоторого двузначного числа, то это число записывают:
$$\overline{ab}=10a+b.$$
Пусть $$\overline{ab}$$ – искомое число.
Согласно условию запишем:
$$\begin{cases} a+b=8,\\ \overline{ab}-\overline{ba}=18; \end{cases}$$ $$\begin{cases} a+b=8,\\ 10a+b-10b-a=18;\end{cases} $$
$$\begin{cases}
a+b=8,\\
9a-9b=18;
\end{cases}
$$ $$\begin{cases}
a+b=8,\\
a-b=2.
\end{cases}$$
В результате сложения этих уравнений получим:
$$2a=10$$, откуда $$a=5$$. Тогда $$b=3$$.
Искомое число $$53$$, а модуль разности его цифр равен $$2$$.
При записи чисел в буквенной форме над числом ставится черта.
Различайте:
число $$\overline{3ab}=300+10a+b$$ ($$3$$, $$a$$ и $$b$$ – цифры);
произведение $$3ab=3 \cdot a \cdot b$$ (буквы $$a$$, $$b$$ и число $$3$$ – множители).
Если свежие грибы содержат по массе $$90$$ % воды, а сушеные – $$10$$ %, то из $$18$$ кг свежих грибов сушеных получим:
Нахождение указанного количества процентов от числа:
$$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.
Так как свежие грибы содержат по массе $$90$$ % воды, то некого другого вещества они содержат $$10$$ %.
Зная массу свежих грибов, найдем массу вещества:
$$18:100 \cdot 10=1,8$$ (кг).
Так как сушеные грибы содержат по массе $$10$$ % воды, то вещества они содержат $$90$$ %.
Зная массу вещества, найдем массу сушеных грибов:
$$1,8:90 \cdot 100 = 2$$ (кг).
При сушке грибов уменьшается масса воды, а масса грибного вещества не изменяется, но изменяется ее процентное содержание.