Тождественные преобразования выражений КТ 10
В результате сокращения дроби $$\frac{1,4\cdot {5}^{2x}\cdot {7}^{3x+2}}{25\cdot{7}^{2x}\cdot {5}^{3x} }$$ получим:
В результате упрощения выражения $$\frac{1-{ctg}^{2}\sqrt{3}\alpha }{{tg}^{2}\sqrt{3}\alpha -1}\cdot \frac{tg\sqrt{3}\alpha }{ctg\sqrt{3}\alpha }$$ получим:
$$=\frac{{tg}^{2}\sqrt{3}\alpha -{ctg}^{2}\sqrt{3}\alpha \cdot {tg}^{2}\sqrt{3}\alpha }{{tg}^{2}\sqrt{3}\alpha -1}=$$
$$=\frac{{tg}^{2}\sqrt{3}\alpha-1}{{tg}^{2}\sqrt{3}\alpha-1}=1$$.
Если значение выражения $$\frac{{b}^{-2x}+{b}^{2x}}{{b}^{2x}-{b}^{-2x}}$$ равно $$\frac{17}{15}$$, то $${b}^{x}$$ равно:
$$\frac{1+{b}^{4x}}{{b}^{4x}-1}=\frac{17}{15}$$,
$$15+15{b}^{4x}=17{b}^{4x}-17$$,
$${b}^{4x}=16$$, $${b}^{x}=2$$.
Значение выражения $$\sqrt{\frac{x+{y}^{2}}{y}+2\sqrt{x}}-\sqrt{\frac{x+{y}^{2}}{y}-2\sqrt{x}}$$ при $$\sqrt{x}$$<$$y$$ и $$x=4y$$ равно:
$$=\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{x}+y \right)}^{2}}{y}}-\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{x}-y \right)}^{2}}{y}}=\frac{\left|\sqrt{x}+y \right|-\left|\sqrt{x}-y \right|}{\sqrt{y}}=$$
$$=\frac{\sqrt{x}+y+\sqrt{x}-y}{\sqrt{y}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\frac{2\sqrt{4y}}{\sqrt{y}}=4$$.
В результате преобразования выражения $$0,4{a}^{\frac{1}{{\log }_{b}2}}+0,6{b}^{{\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{a}}-{a}^{{\log }_{2}b}$$ получим:
Результат упрощения выражения $$\frac{125{m}^{3}{n}^{4}}{{\left(25m{n}^{2} \right)}^{2}}$$ имеет вид:
Если $$ctg4\beta =0,5$$, то значение $$\left| tg2\beta\right|$$ равно:
$$\frac{1-{tg}^{2}2\beta }{2tg2\beta}=\frac{1}{2}$$,
$${tg}^{2}2\beta +tg2\beta -1=0$$,
откуда, $${tg}_{1}2\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$$, а $${tg}_{2}2\beta =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$.
Тогда: $$\left|{tg}_{1}2\beta \right|=0,5\left(\sqrt{5}+1 \right)$$; $$\left|{tg}_{2}2\beta \right|=0,5\left(\sqrt{5}-1 \right)$$.
В результате сложения алгебраических дробей $$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{{n}^{2}-mn-2{n}^{2}}$$ и $$\frac{m-n}{2m-n}$$ получим:
- Выполним деление многочленов:
\begin{matrix} \;2m^2 +mn - n^2\vert2m-n \\ \underline{2m^2-mn \qquad} \overline{\vert m+n} \\ 2mn - n^2 \quad \\ \underline{2mn-n^2} \quad \\ \quad\; 0 \end{matrix}
Тогда, $$2{m}^{2}+mn-{n}^{2}=\left(2m-n \right)\left(m+n \right)$$. - $$-\frac{\left(m-n \right)\left(m+n \right)}{\left(2m-n \right)\left(m+n \right)}+\frac{m-n}{2m-n}=-\frac{m-n}{2m-n}+\frac{m-n}{2m-n}=0$$.
В результате преобразования выражения $$\frac{a+1+2\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}+\frac{1-\sqrt{{a}^{3}}}{\sqrt{a}+1+a}$$ получим:
$$=\frac{{\left(1+\sqrt{a} \right)}^{2}}{1+\sqrt{a}}+\frac{\left(1-\sqrt{a} \right)\left(1+\sqrt{a}+a \right)}{\sqrt{a}+1+a}=$$
$$=1+\sqrt{a}+1-\sqrt{a}=2$$.
Квадрат разности чисел $${\log }_{2}9$$ и $${\log }_{{2}^{\frac{1}{2}}}0,75$$ равен:
$$={\left( {\log }_{2}\frac{9\cdot16}{9}\right)}^{2}={\left( {\log }_{2}{2}^{4}\right)}^{2}={4}^{2}=16$$.