Тождественные преобразования выражений КТ 12
Частное от деления выражений $$\lg {5}^{a}$$ и $${\log }_{5}{10}^{2a}$$ равно:
$$\frac{\lg {5}^{a}}{{\log }_{5}{10}^{2a}}=\frac{a\cdot \lg 5}{2a\cdot {\log }_{5}10}=0,5\lg 5\cdot \lg 5=0,5{\lg }^{2}5$$.
В результате преобразования выражения $${\left({\cos}^{4}\left(x-\frac{13\pi }{4} \right) \right)-{\sin }^{4}\left(\frac{21\pi }{4}+x \right)}^{-1}$$
при $$x={15}^{\circ }$$ получим:
$${\cos }^{4}\left(x-\frac{13\pi }{4}+2\pi \right)-{\sin }^{4}\left(\frac{21\pi }{4}+x-6\pi \right)=$$
$$={\cos }^{4}\left(x-\frac{3\pi }{4} \right)-{\sin }^{4}\left(x-\frac{3\pi }{4} \right)=$$
$$=\left( {\cos }^{2}\left(x-\frac{3\pi }{4} \right)-{\sin }^{2}\left(x-\frac{3\pi }{4} \right)\right)\cdot 1=$$
$$={\cos }^{2}\left(2x-\frac{3\pi }{2} \right)={\sin }^{2}2x={\sin }^{2}{30}^{\circ }=\frac{1}{4}$$.
Тогда, $${\left(\frac{1}{4} \right)}^{-1}=4$$.
Если $$x=\sqrt{2}$$, то значение выражения $$2\sqrt[3]{{x}^{2}}-\frac{\sqrt[3]{9{x}^{5}}-4x}{\sqrt[3]{3{x}^{2}}-2\sqrt[3]{x}}$$ равно:
$$2\sqrt[3]{{x}^{2}}-\frac{x\left({\left(\sqrt[3]{3x} \right)}^{2}-{2}^{2} \right)}{\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{3x} -2\right)}=$$
$$=2\sqrt[3]{{x}^{2}}-\frac{\sqrt[3]{{x}^{2}}\left(\sqrt[3]{3x}-2 \right)\left(\sqrt[3]{3x}+2 \right)}{\left(\sqrt[3]{3x}-2 \right)}=$$
$$=2\sqrt[3]{{x}^{2}}-\sqrt[3]{{x}^{2}}\left(\sqrt[3]{3x}+2 \right)=\sqrt[3]{{x}^{2}}\left(2-\sqrt[3]{3x}-2 \right)=$$
$$=-\sqrt[3]{{x}^{2}}\cdot \sqrt[3]{3x}=-x\sqrt[3]{3}=-\sqrt{2}\sqrt[3]{3}=-\sqrt[6]{8\cdot 9}=-\sqrt[6]{72}$$.
В результате упрощения выражения $$\frac{\cos \alpha -\cos 3\alpha }{\sin \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{3\alpha }{2}}$$ получим:
- $$\cos \alpha -\cos 3\alpha =-2\sin 2\alpha \cdot \sin \left(-\alpha \right)=2\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha $$.
- $$\sin \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{3\alpha }{2}=2\sin \alpha \cdot \cos \frac{\alpha }{2}$$.
- $$\frac{2\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha }{2\sin \alpha \cdot \cos \frac{\alpha }{2}}=\frac{\sin 2\alpha }{\cos \frac{\alpha }{2}}=\frac{2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }{\cos \frac{\alpha }{2}}=$$
$$=\frac{4\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \alpha }{\cos \frac{\alpha }{2}}=4\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \alpha$$.
Если значение выражения $$\left(\frac{2}{\sqrt{b-2}+\sqrt{b}}-\frac{2}{\sqrt{b+2}-\sqrt{b}} \right):\left(1+\frac{\sqrt{b+2}}{\sqrt{b-2}} \right)$$ равно –3, то $$b$$ равно:
- $$\frac{2\left(\sqrt{b-2}-\sqrt{b} \right)}{\left(\sqrt{b-2}+\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{b-2}-\sqrt{b} \right)}-\frac{2\left(\sqrt{b+2}+\sqrt{b} \right)}{\left(\sqrt{b+2}-\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{b+2}+\sqrt{b} \right)}=$$
$$=\frac{2\left(\sqrt{b-2}-\sqrt{b} \right)}{b-2-b}-\frac{2\left(\sqrt{b+2}+\sqrt{b} \right)}{b+2-b}=$$
$$=-\sqrt{b-2}+\sqrt{b}-\sqrt{b+2}-\sqrt{b}=-\left(\sqrt{b-2}+\sqrt{b+2} \right)$$. - $$-\left(\sqrt{b-2}+\sqrt{b+2} \right)\cdot \frac{\sqrt{b-2}}{\sqrt{b-2}+\sqrt{b+2}}=-\sqrt{b-2}$$.
- $$\sqrt{b-2}=3$$, откуда $$b=11$$.
В результате упрощения выражения $${\left(11-\sqrt{30} \right)}^{{\log }_{2}\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{6}}}\cdot {\left(\sqrt{6} -\sqrt{5}\right)}^{{\log }_{4}\left(-\sqrt{30}+11 \right)}$$ получим:
$${\left(11-\sqrt{30} \right)}^{{\log }_{2}\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{6}}}\cdot {\left(11 -\sqrt{30}\right)}^{{\log }_{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5} \right)}=$$
$$={\left(11-\sqrt{30} \right)}^{{\log }_{2}\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+{\log }_{2}\sqrt{\sqrt{6}-\sqrt{5}}}=$$
$$={\left(11-\sqrt{30} \right)}^{{\log }_{2}\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{6} \right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{5} \right)}}=$$
$$={\left(11-\sqrt{30} \right)}^{{\log }_{2}1}={\left(11-\sqrt{30} \right)}^{0}=1$$.
В результате сокращения дроби $$\frac{\left(4{a}^{2} -49\right)\left(49+14a+4{a}^{2} \right)}{4{a}^{2}+49+28a}$$ получим:
$$\frac{\left(2a-7 \right)\left(2a+7 \right)\left(49+14a+4{a}^{2} \right)}{{\left(2a+7 \right)}^{2}}=$$
$$=\frac{\left(2a-7 \right)\left(49+14a+4{a}^{2} \right)}{2a+7}=\frac{8{a}^{3}-343}{2a+7}$$.
В результате упрощения выражения $$\frac{-2{x}^{4}+20{x}^{2}-18}{{x}^{3}+{x}^{2}-9x-9}-{\left(\frac{0,5x+0,5}{1-{x}^{2}} \right)}^{-1}$$ получим:
-
Разложение трехчлена $${x}^{4}-10{x}^{2}+9$$ на множители:
$$D=100-36=64$$, $${{x}_{1}}^{2}=\frac{10-8}{2}=1$$, $${{x}_{2}}^{2}=\frac{10+8}{2}=9$$;
$${x}^{4}-10{x}^{2}+9=\left({x}^{2}-1 \right)\left({x}^{2}-9 \right)$$. - $$\frac{-2\left({x}^{4}-10{x}^{2}+9 \right)}{\left({x}^{3}+{x}^{2} \right)-\left(9x+9 \right)}-\frac{1-{x}^{2}}{0,5x+0,5}=$$
$$=\frac{-2\left({x}^{2}-1 \right)\left({x}^{2}-9 \right)}{{x}^{2}\left(x+1 \right)-9\left(x+1 \right)}-\frac{1-{x}^{2}}{0,5\left(x+1 \right)}=$$
$$=\frac{-2\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\left({x}^{2}-9 \right)}{\left(x+1 \right)\left({x}^{2}-9 \right)}+\frac{\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)}{0,5\left(x+1 \right)}=$$
$$=-2\left(x-1 \right)+2\left(x-1 \right)=0$$.
В результате преобразования выражения $${2}^{x}+{2}^{x+2}-5\cdot {2}^{x-2}$$ получим:
$${2}^{x}\left(1+{2}^{2} -5\cdot {2}^{-2}\right)={2}^{x}\left(5-1,25 \right)=3,75\cdot {2}^{x}$$.
Значение выражения $${\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}} \right)}^{x}{\left(\sqrt{5-2\sqrt{6}} \right)}^{-x}-{\left(\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \right)}^{4x}$$ равно:
$${\left(\frac{5+2\sqrt{6}}{5-2\sqrt{6}} \right)}^{\frac{x}{2}}-{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)}^{2x}=$$
$$={\left(\frac{{\left(5+2\sqrt{6} \right)}^{2}}{\left(5-2\sqrt{6} \right)\left(5+2\sqrt{6} \right)} \right)}^{\frac{x}{2}}-{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^{2x}=$$
$$={\frac{\left({\left(5+2\sqrt{6} \right)}^{2} \right)}{25-24}}^{\frac{x}{2}}-{\left(2+2\sqrt{6}+3 \right)}^{x}=$$
$$={\left(5+2\sqrt{6} \right)}^{x}-{\left(5+2\sqrt{6} \right)}^{x}=0$$.