Уравнения КТ 3
Множество решений уравнения $$\sqrt[3]{x^3 + 2} = -x$$ имеет вид:
$$x^3 + 2 = -x^3$$, $$2x^3 = -2$$, $$x^3 = -1$$, $$x = -1$$.
Если $$k$$ – количество, а $$s$$ – сумма корней уравнения $$(0,6)^{\sqrt{x}} - \left(\frac{25}{9}\right)^{-x} = 0$$, то значение $$|ks|$$ равно:
$$\left(\frac{3}{5}\right)^{\sqrt{x}} = \left(\frac{25}{9}\right)^{-x}$$, $$\left(\frac{3}{5}\right)^{\sqrt{x}} = \left(\frac{3}{5}\right)^{2x}$$,
$$\sqrt{x} = 2x$$, $$\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1) = 0$$,
откуда $$\sqrt{x} = 0$$ или $$2\sqrt{x} - 1 =0$$.
Значит, $$x = 0$$ или $$x = 0,25$$.
Так как $$k = 2$$, а $$s = 0,25$$, то $$|ks| = |2 \cdot 0,25| = 0,5$$.
Произведение всех действительных корней уравнения $$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3$$ равно:
$$((x - 1)(x - 4))((x - 2)(x - 3)) = 3$$,
$$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 3$$.
Полагая $$x^2 - 5x + 5 = a$$, получим:
$$(a - 1)(a + 1) = 3$$, $$a^2 = 4$$, откуда $$a = \pm2$$.
Имеем уравнения:
- $$x^2 - 5x + 3 = 0$$, откуда $$x_1x_2 = 3$$, так как $$D = 25 - 12 = 13 > 0$$;
- $$x^2 - 5x + 7 = 0$$, откуда $$x \in \varnothing$$, так как $$D = 25 - 28 = -3 < 0$$.
Если $$p$$ – произведение корней уравнения $$\sqrt{7}x^2 - 7 = 0$$, а $$k$$ – количество корней уравнения $$\sqrt{7}x^2 + 7 = 0$$, то $$p^k$$ равно:
-
$$\sqrt{7}x^2 = 7$$, $$x^2 = \sqrt{7}$$, $$x = \pm\sqrt[4]{7}$$.
Следовательно, $$p = -\sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{7} = -\sqrt{7}$$.
-
$$\sqrt{7}x^2 = -7$$, $$x^2 = -\sqrt{7}$$, $$x \in \varnothing$$.
Следовательно, $$k = 0$$.
- $$p^k = (-\sqrt{7})^0 = 1$$.
Корень квадратный из произведения корней уравнения $$lg^2(100x) + lg^2(10x) - 15 = lgx^{14}$$ равен:
ОДЗ: $$x > 0$$.
$$(lg100 + lgx)^2 + (lg10 + lgx)^2 - 15 = 14lgx$$,
$$(2 + lgx)^2 + (1 + lgx)^2 - 15 = 14lgx$$.
Полагая $$lgx = a$$, получим:
$$(2 + a)^2 + (1 + a)^2 - 15 = 14a$$,
$$a^2 - 4a - 5 = 0$$, откуда $$a_1 = -1$$, $$a_2 = 5$$.
Тогда: $$x_1 = 10^{-1}$$, $$x_2 = 10^5$$; $$\sqrt{10^{-1} \cdot 10^5} = 100$$.
Куб среднего арифметического всех действительных корней уравнения $$x^3 + 4|x| = 0$$ равен:
Запишем уравнение в виде: $$4|x| = -x^3$$.
Так как $$x \le 0$$, то
$$-4x = -x^3$$, $$x(x + 2)(x - 2) = 0$$,
откуда $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -2$$, $$x_3 = 2$$ (посторонний корень).
Тогда, $$\left(\frac{0 - 2}{2}\right)^3 = -1$$.
Число, противоположное корню уравнения $$log_{\sqrt{5}}x + log_{\sqrt{5}}x^2 + log_{\sqrt{5}}x^3 = 24$$, равно:
ОДЗ: $$x > 0$$.
$$log_{\sqrt{5}}x + 2log_{\sqrt{5}}x + 3log_{\sqrt{5}}x = 24$$,
$$6log_{\sqrt{5}}x = 24$$, $$log_{\sqrt{5}}x = 4$$, $$x = 25$$, $$-x = -25$$.
Среднее арифметическое всех различных корней уравнения $$sin5xcos3x + cos9xsin7x = 0$$, принадлежащих отрезку $$[0; 45^{\circ}]$$, равно:
$$\frac{1}{2}(sin2x + sin8x) = -\frac{1}{2}(-sin2x + sin16x)$$,
$$sin16x + sin8x = 0$$, $$2sin12x \cdot cos4x = 0$$.
Решим уравнения:
- $$sin12x = 0$$, $$x = \frac{\pi n}{12}$$, где $$n \in Z$$;
- $$cos4x = 0$$, $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}$$, где $$m \in Z$$.
Тогда, $$\left(0 + \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{8}\right) : 5 = \frac{\pi}{8}$$.
Число, противоположное корню уравнения $$0,04^x - 2 \cdot 5^{-x} - 15 = 0$$, равно:
$$5^{-2x} - 2 \cdot 5^{-x} - 15 = 0$$.
Полагая $$5^{-x} = a > 0$$, получим:
$$a^2 - 2a - 15 = 0$$,
откуда $$a_1 = -3 < 0$$, $$a_2 = 5$$.
Тогда, $$5^{-x} = 5$$, откуда $$-x = 1$$.
Количество корней уравнения $$\frac{x^3 - 15x^2 + 54x}{\sqrt{x^2 - x - 56}} = 0$$ равно:
ОДЗ: $$x^2 - x - 56 > 0$$.
Решим уравнение:
$$x(x^2 - 15x + 54) = 0$$.
Получим:
- $$x = 0 \notin$$ ОДЗ;
- $$x^2 - 15x + 54 = 0$$, откуда $$x_1 = 9$$, $$x_2 = 6 \notin$$ ОДЗ.