Уравнения КТ 6
Произведение всех действительных корней уравнения $$125 \cdot 4^{\sqrt{x}} - 70 \cdot 10^{\sqrt{x}} + 8 \cdot 25^{\sqrt{x}} = 0$$ равно:
$$\frac{125 \cdot 4^{\sqrt{x}}}{10^{\sqrt{x}}} - \frac{70 \cdot 10^{\sqrt{x}}}{10^{\sqrt{x}}} + \frac{8 \cdot 25^{\sqrt{x}}}{10^{\sqrt{x}}} = 0$$,
$$125 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{\sqrt{x}} - 70 + 8 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\sqrt{x}} = 0$$.
Полагая $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\sqrt{x}} = a>0$$, получим:
$$125a - 70 + \frac{8}{a} = 0$$, $$125a^2 - 70a + 8 = 0$$,
откуда $$D = 900$$, $$a_1 = \frac{4}{25}$$, $$a_2 = \frac{2}{5}$$.
Решим уравнения:
- $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\sqrt{x}} = \frac{4}{25}$$, $$\sqrt{x} = 2$$, $$x = 4$$;
- $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\sqrt{x}} = \frac{2}{5}$$, $$\sqrt{x} = 1$$, $$x = 1$$.
Тогда, $$4 \cdot 1 = 4$$.
Наименьший положительный корень уравнения $$tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = cos \pi$$ равен:
$$tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$$, $$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$, $$x = \pi n$$, где $$n \in Z$$.
При $$n = 1$$ получим: $$x = \pi$$.
Среднее арифметическое всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{\sqrt[3]{x - 3}\sqrt{6 + x}}{x^2 - 36} = 0$$ равно:
ОДЗ: $$x > -6$$ и $$x \neq 6$$.
$$\sqrt[3]{x - 3}\sqrt{6 - x} = 0$$, откуда $$x = 3$$ или $$x = -6 \notin$$ ОДЗ.
Сумма модулей корней уравнения $$ctg \pi x + tg \frac{\pi x}{x} = 1$$, по абсолютной величине не превосходящих $$0,5 \pi$$, равна:
Полагая $$tg \frac{\pi x}{2} = a$$, получим:
$$\frac{1 - a^2}{2a} + a = 1$$, $$a^2 - 2a + 1 = 0$$, $$(a - 1)^2 = 0$$, $$a = 1$$.
Тогда: $$tg \frac{\pi x}{2} = 1$$, $$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$$, $$x = \frac{1}{2} + 2n$$, $$n \in Z$$.
Отбор корней с учетом, что $$0,5 \pi \approx 1,57$$:
если $$n = -1$$, то $$x = -1,5$$; если $$n = 0$$, то $$x = 0,5$$.
Тогда, $$|-1,5| + |0,5| = 2$$.
Если $$k$$ – количество, а $$p$$ – произведение корней уравнения $$4x^4 - 11x^2 - 3 = 0$$, то значение $$pk$$ равно:
Пусть $$x^2 = y$$. Тогда, $$4y^2 - 11y - 3 = 0$$.
$$D = 121 + 48 = 169$$,
$$y_1 = \frac{11 - 13}{8} = -0,25$$, $$y_2 = \frac{11 + 13}{8} = 3$$.
Получим:
- $$x^2 = -0,25$$, откуда $$x \in \varnothing$$;
- $$x^2 = 3$$, откуда $$x = \pm \sqrt{3}$$.
Следовательно,
$$k = 2$$, $$p = -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = -3$$, $$kp = -6$$.
Среднее арифметическое модулей всех действительных корней уравнения $$|x| + |1-x^2| = 1 + x^2$$ равно:
Найдем нули функций, записанных под знаками модулей:
$$x_1 = 0$$, $$x_2 = -1$$, $$x_3 = 1$$.
Решим уравнения на полученных промежутках (рис. 1).
-
Если $$x \in (-\infty; -1]$$, то получим:
$$- x - 1 + x^2 = 1 + x^2$$,
откуда $$x = -2$$ – корень уравнения.
-
Если $$x \in (-1; 0]$$, то получим:
$$- x + 1 - x^2 = 1 + x^2$$, $$2x^2 + x = 0$$,
откуда $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -0,5$$ – корни уравнения.
-
Если $$x \in (0; 1]$$, то получим:
$$x + 1 - x^2 = 1 + x^2$$, $$2x^2 - x = 0$$,
откуда $$x = 0,5$$ – корень уравнения.
-
Если $$x \in (1; \infty)$$, то получим:
$$x - 1 + x^2 = 1 + x^2$$,
откуда $$x = 2$$ – корень уравнения.
Тогда, $$(2 + 0 + 0,5 + 0,5 + 2) : 5 = 1$$.
Сумма корней (или куб корня, если он единственный) уравнения $$log_3\sqrt{\frac{3x + 2}{x}} = log_9\frac{x}{3x + 2}$$ равна:
ОДЗ: $$\frac{3x + 2}{x} > 0$$.
$$log_3\sqrt{\frac{3x + 2}{x}} = log_3\sqrt{\frac{x}{3x + 2}}$$, $$\frac{3x + 2}{x} = \frac{x}{3x + 2}$$,
$$(3x + 2)^2 - x^2 = 0$$, $$(2x + 2)(4x + 2) = 0$$,
откуда $$x_1 = -1$$, $$x_2 = -0,5 \notin$$ ОДЗ.
Тогда, $$(-1)^3 = -1$$.
Если $$(x_0; y_0)$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} \frac{x}{1 - y} = 9, \\ \frac{2x^2}{1 - y^2} = 81, \end{array}\right.$$ то произведение чисел $$x_0$$ и $$y_0$$ равно:
Разделим второе уравнение системы на первое:
$$\frac{2x^2}{(1 - y)(1 + y)} \cdot \frac{1 - y}{x} = \frac{81}{9}$$,
$$\frac{2x}{1 + y} = 9$$, откуда $$x = 4,5y + 4,5$$.
Подставим это значение в первое уравнение системы:
$$4,5y + 4,5 = 9 - 9y$$, откуда $$y = \frac{1}{3}$$, а $$x = 6$$.
Тогда, $$\frac{1}{3} \cdot 6 = 2$$.
Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{3x - x^2} = 0$$ не принадлежит промежутку:
ОДЗ: $$x^2 + 2x > 0$$ и $$3x - x^2 \ge 0$$.
$$\sqrt{x^2 + 2x} = \sqrt{3x - x^2}$$, $$x^2 + 2x = 3x - x^2$$,
$$x(2x - 1) = 0$$, откуда $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 0,5$$.
Тогда, $$0 + 0,5 = 0,5 \notin (0; 0,2]$$.
Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{9^x}{16^x} = 0,75 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{x^2}$$ равна:
$$\left(\frac{9}{16}\right)^x = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{x^2}$$, $$\left(\frac{3}{4}\right)^{2x} = \left(\frac{3}{4}\right)^{x^2 + 1}$$,
$$2x = x^2 + 1$$, $$x^2 - 2x + 1 = 0$$,
откуда $$x_1 + x_2 = 2$$.