Уравнения КТ 9
Корень уравнения $$4^x + 2^{2x} = 2^x$$ принадлежит промежутку:
$$2^{2x} + 2^{2x} = 2^x$$, $$2 \cdot 2^{2x} = 2^x$$, $$\frac{2^{2x + 1}}{2^x} = \frac{2^x}{2^x}$$,
$$2^{x + 1} = 2^0$$, $$x + 1 = 0$$, $$x = -1 \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$$.
Модуль суммы кубов корней уравнения $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} + 4} - \sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} - 4} = 2$$ равен:
$$\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} + 4}\right)^3 = \left(2 + \sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} - 4}\right)^3$$,
$$\sqrt[3]{8x} + 4 = 8 + 12\sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} - 4} + 6\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} - 4}\right)^2 + \sqrt[3]{8x} - 4$$,
$$2\sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} - 4} + \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} - 4}\right)^2 = 0$$,
$$\sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} - 4} \cdot \left(2 + \sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} - 4}\right) = 0$$.
Получим уравнения:
- $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} - 4} = 0$$, $$\sqrt[3]{8x} = 4$$, $$8x = 64$$, $$x = 8$$;
- $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{8x} - 4} = -2$$, $$\sqrt[3]{8x} = -4$$, $$8x = -64$$, $$x = -8$$.
Тогда, $$|8^3 - 8^3| = 0$$.
Среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt{9 - x} - \sqrt{x + 1} = -\sqrt{2x - 12}$$ равно:
ОДЗ: $$6 \le x \le 9$$.
$$(\sqrt{9 - x} + \sqrt{2x - 12})^2 = (\sqrt{x + 1})^2$$,
$$9 - x + 2\sqrt{9 - x} \cdot \sqrt{2x - 12} + 2x - 12 = x + 1$$,
$$\sqrt{(9 - x)(2x - 12)} = 2$$,
$$(9 - x)(x - 6) = 2$$,
$$x^2 - 15x + 56 = 0$$,
откуда $$x_1 = 7$$, $$x_2 = 8$$.
Тогда, $$(7 + 8) : 2 = 7,5$$.
Решение уравнения $$2log_7\sqrt{x + 3} - log_7(x - 1) = log_{49}(x + 1)^2$$ имеет вид:
ОДЗ: $$x > 1$$.
$$log_7(x + 3) - log_7(x - 1) = log_7(x + 1)$$,
$$log_7\frac{x + 3}{x - 1} = log_7(x - 1)$$,
$$\frac{x + 3}{x - 1} = x + 1$$, $$x^2 - x - 4 = 0$$,
откуда $$x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \notin$$ ОДЗ, $$x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$$.
Количество корней уравнения $$sinx + 1 = 2cos^2x$$, принадлежащих отрезку $$[0; 1,5\pi]$$, равно:
$$sinx + 1 = 2(1 - sin^2x)$$, $$2sin^2x + sinx - 1 = 0$$, откуда:
- $$sinx = -1$$, значит $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, где $$n \in Z$$;
- $$sinx = \frac{1}{2}$$, значит $$x = (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k$$, где $$k \in Z$$.
Отбор корней:
если $$n = 1$$, то $$x = 1,5\pi$$;
если $$k = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{6}$$;
если $$k = 1$$, то $$x = \frac{5\pi}{6}$$.
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{3}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{x + 2}{(x + 2)(x + 3)}$$ равно:
- ОДЗ: $$x \neq -3$$, $$x \neq -2$$, $$x \neq 2$$.
- $$\frac{3}{(x - 2)} = \frac{x + 2}{(x + 2)}$$, $$\frac{3}{x - 2} = 1$$, $$x = 5$$.
Произведение всех действительных корней уравнения $$|2 - |1 + |x||| = 4$$ равно:
$$\left[\begin{array}{l} 2 - |1 + |x|| = 4, \\ 2 - |1 + |x|| = -4; \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} |1 + |x|| = -2, \\ |1 + |x|| = 6; \end{array}\right.$$
$$\left[\begin{array}{l} 1 + |x| = 6, \\ 1 + |x| = -6; \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} |x| = 5, \\ |x| = -7; \end{array}\right.$$ $$x = \pm 5$$.
Тогда, $$-5 \cdot 5 = 25$$.
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{|x + x^2|}{|x - x^2|} = 7$$ равно:
ОДЗ: $$x - x^2 \neq 0$$, откуда $$x \neq 0$$ и $$x \neq 1$$.
Решим уравнение:
$$|1 + x| = 7|1 - x|$$,
$$(1 + x)^2 = 49(1 - x)^2$$,
$$(1 + x)^2 - (7 - 7x)^2 = 0$$,
$$(8x - 6)(8 - 6x) = 0$$,
откуда $$x_1 = \frac{3}{4}$$, $$x_2 = \frac{4}{3}$$.
Тогда, $$x_1x_2 = 1$$.
Количество корней уравнения $$|x|^{5 + x} = 1$$ равно:
- $$|x|^{5 + x} = |x|^0$$, $$5 + x = 0$$, $$x = -5$$.
- Если $$|x| = 1$$, то $$x = \pm 1$$.
- Если $$|x| = 0$$, то $$0^6 \neq 1$$.
Среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения $$\frac{cos^2(0,5x + 15^{\circ})}{sin^2(0,5x - 15^{\circ})} = 1$$, принадлежащих промежутку $$\left[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{2}\right]$$, равно:
$$\frac{0,5(1 + cos(x + 30^{\circ}))}{0,5(1 - cos(x - 30^{\circ}))} = 1$$,
$$cos(x + 30^{\circ}) + cos(x - 30^{\circ}) = 0$$,
$$2cosx \cdot cos30^{\circ} = 0$$, $$cosx = 0$$,
$$x = 90^{\circ} + 180^{\circ} \cdot n$$, где $$n \in Z$$.
$$(90^{\circ} + 270^{\circ} + 450^{\circ}) : 3 = 270^{\circ}$$.