Уравнения КТ 14
Среднее арифметическое всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$13^{x + 1} + 13 \cdot 13^{1 - x} = 182$$ равно:
$$13 \cdot 13^x + \frac{13 \cdot 13}{13^x} = 182$$, $$13^x + \frac{13}{13^x} = 14$$.
Полагая $$13^x = a > 0$$, получим:
$$a^2 - 14a + 13 = 0$$, откуда $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 13$$.
Решим уравнения:
- $$13^x = 1$$, откуда $$x = 0$$;
- $$13^x = 13$$, откуда $$x = 1$$.
Тогда, $$(0 + 1) : 2 = 0,5$$.
Сумма всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$$ равна:
$$(x^3 - x^2) + (-4x + 4) = 0$$,
$$x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0$$,
$$(x - 1)(x^2 - 4) = 0$$,
$$(x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$$,
откуда $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 2$$, $$x_3 = -2$$.
Тогда, $$1 + 2 - 2 = 1$$.
Если корень уравнения $$log_{x^3 - 1}\sqrt{7} = 0,5$$ составляет $$\frac{4}{5}$$ некоторого числа, то это число равно:
ОДЗ: $$x^3 - 1 > 0$$ и $$x^3 - 1 \neq 1$$.
$$\sqrt{7} = \sqrt{x^3 - 1}$$, $$x^3 - 1 = 7$$, $$x = 2$$.
Тогда, $$2 : \frac{4}{5} = 2,5$$.
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$(16 - x^2)\sqrt{2 - x}=0$$ равно:
ОДЗ: $$x \le 2$$.
Решим уравнения:
- $$16 - x^2 = 0$$, откуда $$x_1 = -4$$, $$x_2 = 4 \notin$$ ОДЗ;
- $$\sqrt{2 - x} = 0$$, откуда $$x = 2$$.
Тогда, $$-4 \cdot 2 = -8$$.
Удвоенный квадрат произведения корней уравнения $$log_2x - 0,5log_x2 = 1$$ равен:
ОДЗ: $$x > 0$$ и $$x \neq 1$$.
Полагая $$log_2x = a$$, получим:
$$a - \frac{1}{2a} = 1$$, $$2a^2 - 2a - 1 = 0$$,
откуда $$a_1 = 1 - \sqrt{3}$$, $$a_2 = 1 + \sqrt{3}$$.
Решим уравнения:
- $$log_2x = 1 - \sqrt{3}$$, откуда $$x = 2^{1 - \sqrt{3}}$$;
- $$log_2x = 1 + \sqrt{3}$$, откуда $$x = 2^{1 + \sqrt{3}}$$.
Тогда, $$2 \cdot \left(2^{1 - \sqrt{3}} \cdot 2^{1 + \sqrt{3}}\right)^2 = 2 \cdot \left(2^2\right)^2 = 32$$.
Сумма модулей всех корней уравнения $$|x^2 - x - 6| = |2 + x| \cdot (x^2 - 6x + 9)$$ равна:
$$|(x - 3)(x + 2)| = |2 + x| \cdot |x - 3|^2$$,
$$|(x - 3)(x + 2)|(1 - |x - 3|) = 0$$.
Получим:
- $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -2$$;
- $$|x - 3| = 1$$, $$x - 3 = \pm1$$, $$x_3 = 4$$, $$x_4 = 2$$.
Тогда, $$3 + 2 + 4 + 2 = 11$$.
Среднее арифметическое корней уравнения $$81 = \left(\left(3^{2 + x}\right)^{x - 1}\right)^{-2}$$ равно:
$$3^4 = 3^{-2(2 + x)(x - 1)}$$, $$4 = -2(2 + x)(x - 1)$$,
$$x^2 + x = 0$$, откуда $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -1$$.
Тогда, $$(0 - 1) :2 = -0,5$$.
Произведение всех различных корней уравнения $$\left|5x - 2x^2 + 3\right| = |2x + 1|$$ равно:
$$(5x - 2x^2 + 3)^2 = (2x + 1)^2$$,
$$(2x^2 - 3x - 2)(2x^2 - 7x - 4) = 0$$.
Получим уравнения:
- $$2x^2 - 3x - 2 = 0$$, откуда $$x_1 = -\frac{1}{2}$$, $$x_2 = 2$$;
- $$2x^2 - 7x - 4 = 0$$, откуда $$x_1 = -\frac{1}{2}$$, $$x_2 = 4$$.
Тогда, $$-\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = -4$$.
Среднее арифметическое всех корней уравнения $$3sin^2x + 4cos^2x + \sqrt{3}sinxcosx = 3$$, не превосходящих по абсолютной величине число $$\pi$$, равно:
-
$$3sin^2x + 4cos^2x + \sqrt{3}sinxcosx = 3cos^2x + 3sin^2x$$,
$$cos^2x + \sqrt{3}sinxcosx = 0$$, $$cosx\left(cosx + \sqrt{3}sinx\right) = 0$$,
откуда:
- $$cosx = 0$$, $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$, где $$n \in Z$$;
- $$\sqrt{3}sinx = -cosx$$, $$tgx = \frac{-1}{\sqrt{3}}$$, $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi m$$, $$m \in Z$$.
-
Отбор корней:
если $$n = -1$$, то $$x = -\frac{\pi}{2}$$; если $$n = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{2}$$;
если $$m = 0$$, то $$x = -\frac{\pi}{6}$$; если $$m = 1$$, то $$x = \frac{5\pi}{6}$$.
-
$$\left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}\right) : 4 = \frac{2\pi}{3}$$.
Количество корней уравнения $$sin\left(900^{\circ} - \frac{x}{4}\right) + 2cos\left(480^{\circ} - \frac{x}{3}\right) = 3$$, принадлежащих отрезку $$[-12\pi ; 27\pi]$$, равно:
$$sin\left(180^{\circ} - \frac{x}{4}\right) + 2cos\left(90^{\circ} + 30^{\circ} - \frac{x}{3}\right) = 3$$,
$$sin\frac{x}{4} - 2sin\left(30^{\circ} - \frac{x}{3}\right) = 3$$,
$$sin\frac{x}{4} + 2sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = 3$$.
Получим систему уравнений:
-
$$sin\frac{x}{4} = 1$$, $$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, $$x = 2\pi + 8\pi n$$,
$$x = 2\pi(1 + 4\pi n)$$, где $$n \in Z$$;
-
$$sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = 1$$, $$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$$,
$$x = 2\pi + 6\pi m$$, $$x = 2\pi(1 + 3\pi m)$$, где $$m \in Z$$.
Система имеет решения при $$4n = 3m$$.
Следовательно, на заданном отрезке получим два корня:
- $$x = 2\pi$$ при $$n = m = 0$$;
- $$x = 26\pi$$ при $$n = 3$$ и $$m = 4$$.