Планиметрия КТ 4
Если вписанный в окружность угол $$ACB$$, одна из сторон которого проходит через диаметр окружности, равный $$4\sqrt{3}$$, равен $$30^{\circ}$$, то площадь сегмента, отсекаемого от круга хордой $$AB$$, равна:
- Так как $$\angle ACB = 30^{\circ}$$ (рис. $$5$$), то $$\angle AOB=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$$.
Рис. 5 - Так как $$CB=4\sqrt{3}$$, то $$R=2\sqrt{3}$$.
- Площадь сектора $$AOB$$:
$$S_1=\frac{\pi R^{2}\cdot n^{\circ}}{360^{\circ}}$$, $$S_1=\frac{\pi \cdot 12 \cdot 60^{\circ}}{360^{\circ}}= 2\pi$$.
- Площадь треугольников $$AOB$$:
$$S_2=\frac{\sqrt{3}\cdot R^2}{4}$$, $$S_2=\frac{\sqrt{3}\cdot 12}{4}= 3\sqrt{3}$$.
- Площадь сегмента $$AOB$$: $$S_1 - S_2 = 2\pi - 3\sqrt{3}$$.
Если внешний угол при вершине правильного $$n$$-угольника равен $$60^{\circ}$$, то градусная мера суммы его внутренних углов равна:
- Внутренний угол правильного треугольника:
$$\alpha = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$$.
- По формуле $$\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=\beta$$ получим:
$$\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=120^{\circ}$$, $$3n-6=2n$$, $$n=6$$.
- $$120^{\circ} \cdot 6 = 720^{\circ}$$.
Если один из углов равнобедренного треугольника в $$2$$ раза меньше другого, то угол при вершине этого треугольника равен:
Случай 1. Пусть $$\angle B = x^{\circ}$$ (рис. $$2$$). Тогда, $$\angle A = \angle C = 2x^{\circ}$$.
Так как $$x+2x+2x=180^{\circ}$$, то $$x=36^{\circ}$$.
Случай 2. Пусть $$\angle B=2x^{\circ}$$ (рис. 3). Тогда, $$\angle A= \angle C = x^{\circ}$$.
Так как $$2x+x+x=180^{\circ}$$, то $$2x=90^{\circ}$$.
Площади двух подобных треугольников относятся как $$4 : 25$$. Если разность их сходственных медиан равна $$18$$, то сумма длин этих медиан равна:
Пусть $$m_1=x$$, а $$m_2=x+18$$.
Так как $$\frac{S_1}{S_2}= \frac{m_1^{2}}{m_2^{2}}$$, то $$\frac{4}{25}=\frac{x^2}{(x+18)^2}$$, $$\frac{2}{5}=\frac{x}{x+18}$$, откуда $$x=12$$.
Тогда, $$m_1 + m_2 =12 + 30=42$$.
Если медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника длины $$\sqrt{34}$$, равна $$3$$, то основание треугольника равно:
На рисунке $$7$$ четырехугольник $$ACDB$$ – параллелограмм.
По свойству диагоналей параллелограмма:
$$AD^{2} + CB^{2}= 2AC^{2}+2AB^{2}$$,
$$36+34=68+2x^2$$, откуда $$x=1$$.
Если диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол $$30^{\circ}$$, а площадь прямоугольника равна $$4\sqrt{3}$$ м$$^2$$, то диагональ имеет длину:
- Так как $$b=\frac{d}{2}$$ (рис. 4), то по теореме Пифагора:
$$d^2=a^{2}+\frac{d^2}{4}$$, откуда $$a=\frac{\sqrt{3}d}{2}$$.
Рис. 4 - По формуле $$S=a \cdot b$$ получим:
$$\frac{\sqrt{3}d}{2} \cdot \frac{d}{2}=4\sqrt{3}$$, откуда $$d=4$$ м.
Прямоугольник вписан в окружность, длина которой равна $$\sqrt{28} \pi$$. Если диагонали прямоугольника пересекаются под углом $$60^{\circ}$$, то его площадь равна:
- По формуле $$l=2\pi r$$ получим:
$$\sqrt{28} \pi = 2 \pi R$$, откуда $$R = \sqrt{7}$$.
Тогда, $$d=2R=2\sqrt{7}$$ (рис. $$6$$).
- По формуле $$S=\frac{1}{2}d^{2}sin \varphi$$ получим:
$$S=\frac{1}{2} \cdot 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= 7\sqrt{3}$$.
Сумма градусных мер тупых углов, изображенных на рисунке $$1$$, равна:
Если окружности радиусов $$1$$ и $$3$$ внешним образом касаются одна другой, то их общие внешняя и внутренняя касательные пересекаются под углом, градусная мера которого равна:
На рисунке $$8$$:
$$CO=CK=3$$, $$BO=BP=BL=1$$, $$AP=x$$.
- Так как $$\triangle AKC \sim \triangle ALB$$, то:
$$\frac{KC}{LB}=\frac{AC}{AB}$$, $$\frac{3}{1}=\frac{x+5}{x+1}$$, откуда $$x=1$$.
- Рассмотрим треугольник $$ALB$$:
$$\sin \angle A = \frac{LB}{AB}=\frac{1}{2}$$, откуда $$\angle A = 30^{\circ}$$.
- Рассмотрим треугольник $$AOD$$: $$\angle ADO = 60^{\circ}$$.
Если периметр правильного треугольника равен $$15$$, то площадь этого треугольника равна:
- По формуле $$P=3a$$ получим:
$$15=3a$$, откуда $$a=5$$.
- По формуле $$S=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$ получим:
$$S=\frac{\sqrt{3}\cdot 25}{4}=6,25\sqrt{3}$$.