1. Определение степени:

   $$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}};$$

2. Свойство степеней:

   $$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$$

3. Процентом числа $$a$$ называют одну сотую часть этого числа:

   $$1$$% от числа $$a$$ равен $$0,01a$$.

4. Нахождение процентов от данного числа:

   $$p%$$ от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100}\cdot p.$$

$$A=\frac{14^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 63^{-1}}{42^{-2}\cdot 1^{-20}}$$,

$$A=\frac{ 42^{2}\cdot 3^{2}\cdot 1^{20}}{63^{1}\cdot 14^{1}}$$,

$$A=\frac{42^{2}\cdot 9}{63\cdot 14}=\frac{7^{2}\cdot 6^{2}}{7\cdot 14}=18$$.

2. Найдем $$20$$% от полученного числа:

$$\frac{18\cdot 20}{100}=\frac{18\cdot 2}{10}=3,6$$.

$$20$$% можно записать как $$0,2$$ и найти $$0,2$$ от числа $$18$$, так:

$$18\cdot 0,2=3,6$$.

1. Чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить это число на дробь.
2. Чтобы обратить бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную, необходимо к числу, записанному до периода прибавить обыкновенную дробь, в числитель которой записать число, входящее в период, а в знаменатель записать цифру $$9$$ столько раз, сколько цифр содержит период, и дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом.

Представим периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
$$0,(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$.

Выполним действия:

1) $$18\frac{3}{4}-17\frac{2}{3}=1\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{7 \cdot 3 -2 \cdot 4}{12}=\frac{13}{12}$$;

2) $$\frac{5}{6}: \frac{25}{10}=\frac{5\cdot 10}{6\cdot 25}=\frac{1}{3}$$;

3) $$\frac{13}{12}-\frac{1}{3}=\frac{13-1\cdot 4}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$$;

4) $$\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$$.

Найдем $$\frac{2}{5}$$ числа $$\frac{1}{2}$$. Получим: $$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=0,2$$.

Любую обыкновенную дробь можно обратить в равную ей десятичную дробь делением числителя на ее знаменатель. Возможны следующие случаи:

1. если в знаменателе несократимой дроби не имеется других простых делителей, кроме чисел $$2$$ и $$5$$, то частное выразится конечной десятичной дробью:

   $$\frac{23}{8}=2,875;$$

2. если в знаменателе несократимой дроби имеются другие простые делители, кроме чисел $$2$$ и $$5$$, то остатки будут бесконечно повторяться и частное выразится бесконечной периодической десятичной дробью. При этом группа повторяющихся цифр образует период. Период принято записывать в круглых скобках:

   $$\frac{8}{15}=0,5333...=0,5(3)$$.

1. Частное от деления одного числа на другое называется их отношением.
   Два равных отношения образуют пропорцию:
   $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$,

   где $$a$$ и $$d$$ - крайние, $$b$$ и $$c$$ – средние члены пропорции.

2. Произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов:
   $$bc=ad$$.
3. Правила нахождения неизвестных членов пропорции $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$:
   $$a=\frac{bc}{d}$$, $$b=\frac{ad}{c}$$, $$c=\frac{ad}{b}$$, $$d=\frac{bc}{a}$$.

Решим пропорции:

1) $$a=\frac{3\cdot 6}{5}=\frac{18}{5}$$;

2) $$b=\frac{-3\cdot 2}{5}=-\frac{6}{5}=-1\frac{1}{5}$$;

3) $$c-1=\frac{-4\cdot 0,1}{9}=\frac{-4 \cdot 1}{9 \cdot 10}=-\frac{2}{45}$$,

откуда $$c=-\frac{2}{45}+1=\frac{43}{45}$$;

4) $$2+d=\frac{-2\cdot 5,5}{8}=\frac{-1 \cdot 55}{4 \cdot 10}=-\frac{11}{8}$$,

откуда $$d=-1\frac{3}{8}-2=-3\frac{3}{8}$$.

Поскольку всякое положительное число больше всякого отрицательного, то рассмотрим только отрицательные числа

$$-1\frac{1}{5}$$ и $$-3\frac{3}{8}$$.

Так как $$\left | -1\frac{1}{5} \right | = 1\frac{1}{5}$$,

а $$\left | -3\frac{3}{8} \right | = 3\frac{3}{8}$$ и $$3\frac{3}{8}>1\frac{1}{5}$$,

то $$-3\frac{3}{8}<-1\frac{1}{5}$$.

Следовательно, наименьшее из $$a, b, c$$ и $$d$$ равно $$-3\frac{3}{8}$$

или $$-3 \frac{3\cdot 125}{8\cdot 125} =-3\frac{375}{1000}=-3,375$$.

Из двух отрицательных чисел меньше то число, модуль которого (его абсолютная величина) больше.

Свойства степеней:

$$\left (\frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}};$$

$$\left (\frac{a}{b} \right )^{-n}=\left (\frac{b}{a} \right )^{n}$$.

В результате возведения отрицательного числа в четную степень всегда получаем положительное число, а в нечетную степень – отрицательное:

$$(-a)^{2n}=a^{2n};$$

$$(-a)^{2n-1}=-a^{2n-1}$$,

где $$n$$ – натуральное число.

1. Формулы сокращенного умножения:

1) квадрат суммы (разности):

$$( a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$;

2) куб суммы (разности):

$$( a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$$.

2. Свойства степеней:

1) $$\sqrt[2n]{a^{2n}}=\left | a \right |;$$

2) $$\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} =a$$.

3. Правила раскрытия модуля:

если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем; если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.

Как правило, куб суммы или разности, а часто и квадрат суммы или разности выделить достаточно сложно. Наиболее простой путь – метод подбора.

1. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, необходимо сложить их модули и перед результатом поставить общий знак этих чисел.
2. Чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо из большего модуля числа вычесть меньший и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.
3. Чтобы умножить (разделить) два числа с одинаковыми знаками, необходимо умножить (разделить) модули этих чисел. В результате всегда будем получать положительное число.
4. Чтобы умножить (разделить) два числа с противоположными знаками, необходимо умножить (разделить) модули этих чисел и перед результатом поставить знак минус. В результате всегда будем получать отрицательное число.
5. Чтобы умножить десятичные дроби, необходимо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа столько цифр, сколько их содержится в обоих множителях вместе.

Вынесем число $$25$$ из скобок и выполним действия в скобках:

$$A=25\cdot (0,1\cdot (-30)-0,01\cdot 10+2,5)$$,

$$A=25\cdot (-3-0,1+2,5)$$,

$$A=25\cdot (-3,1+2,5)$$,

$$A=-25\cdot 0,6=-15$$.

1. Определение степеней:

   $$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$;

   $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$$.

2. Свойства степеней:

   $$\left (a^{n} \right )^{m}=a^{nm}$$;

   $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$;

   $$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$.

Числа $$14$$, $$54$$, $$30$$ и $$128$$ мы разложили на простые множители:
$$14=7\cdot 2;$$

$$54=2\cdot 27=2\cdot 3^{3};$$

$$30=2\cdot 3\cdot 5;$$

$$128=2^{7}$$.

1. Если $$p$$% некоторого числа равны $$a$$, то это число равно:

   $$\frac{a}{p}\cdot 100$$.

2. Процентное отношение чисел $$a$$ и $$b$$ равно:

   $$\frac{a}{b}\cdot 100$$%.

Процентные отношения чисел $$a$$ и $$b$$ и чисел $$b$$ и $$a$$ не равны.

1. Свойство корней:

   $$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$$.

2. Нахождение процентов от данного числа:

   $$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100}\cdot p.$$

$$120$$% можно записать как $$1,2$$ и найти $$1,2$$ от числа $$\frac{3}{4}$$, так:

$$\frac{3}{4}\cdot \frac{12}{10}=\frac{9}{10}=0,9$$.

1. Формула разности квадратов:

   $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.

2. Свойство степени:

   $$\left (\sqrt{a} \right )^{2}=a$$.

Выражения $$a+b$$ и $$a-b$$ называют сопряженными.