Планиметрия КТ 9
Если градусная мера дуги $$AB$$ равна $$40^{\circ}$$ и составляет $$\frac{1}{2}$$ часть дуги $$BC$$, то вписанный в окружность угол $$AKC$$ равен:
Случай 1 (рис. 3). $$\angle AOC = 40^{\circ} + 80^{\circ}=120^{\circ}$$.
Тогда, $$\angle AKC =\frac{1}{2} \cdot \angle AOC = 60^{\circ}$$.
Случай 2 (рис. 4). $$\angle AOC=40^{\circ}$$.
Тогда, $$\angle AKC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC =20^{\circ}$$.
Если высота трапеции равна $$2$$ см и в полтора раза меньше ее средней линии, то площадь трапеции равна:
Так как $$h=2$$ см, а $$l=1,5 \cdot 2 = 3$$ (см),
то по формуле $$S=l \cdot h$$ получим:
$$S=3 \cdot 2 = 6$$ (см$$^2$$).
В равнобедренном треугольнике через середину его высоты, проведенной к основанию, параллельно боковой стороне проведена прямая. Если боковая сторона треугольника равна $$8$$, то длина отрезка этой прямой, расположенного внутри треугольника, равна:
- Так как $$BK=OK$$ и $$MK=AB$$ (рис. 8), то $$MK$$ - средняя линия треугольника $$ABO$$. Следовательно, $$AM=MO=a$$. Тогда, $$OC=2a$$.
- Так как $$\triangle ABC \sim \triangle MLC$$, то $$\frac{AB}{ML}=\frac{AC}{MC}$$, откуда $$\frac{8}{ML}=\frac{4a}{3a}$$, $$ML=6$$.
Сумма двух противолежащих сторон неправильного четырехугольника, описанного около окружности, равна $$5$$. Если радиус окружности составляет $$20$$ % от периметра этого четырехугольника, то площадь четырехугольника равна:
- По свойству четырехугольника, описанного около окружности:
$$AB+CD=5$$ и $$AD+BC=5$$ (рис. 9).
Тогда, $$P_{ABCD}=10$$.
- Радиус окружности: $$r=10:100 \cdot 20 = 2$$.
- Площадь четырехугольника:
$$S=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}$$,
$$S=\frac{AB\cdot r}{2}+\frac{BC\cdot r}{2}+\frac{CD\cdot r}{2}+\frac{DA\cdot r}{2}$$,
$$S=\frac{r}{2} \cdot (AB+BC+CD+DA)$$,
$$S=\frac{2}{2}\cdot 10=10$$.
Если на рисунке 1 прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны и $$\angle 1 =25^{\circ}$$, то сумма углов 3 и 4 равна:
- Углы 1 и 5 вертикальные (рис. 1).
Следовательно, $$\angle 5 = \angle 1 = 25^{\circ}$$.
- Углы 5 и 3 внутренние односторонние.
Следовательно, $$\angle 3 = 180^{\circ}-25^{\circ}=155^{\circ}$$.
- Углы 3 и 4 вертикальные.
Следовательно, $$\angle 4 = \angle 3 = 155^{\circ}$$.
- $$\angle 3 + \angle 4 = 310^{\circ}$$.
Если тангенс одного из углов прямоугольного треугольника равен $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, а прилежащий к этому углу катет равен $$2\sqrt{3}$$, то квадрат гипотенузы этого треугольника равен:
- Так как $$tg \alpha = \frac{CB}{CA}$$ (рис. 7), то $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CB}{2\sqrt{3}}$$, откуда $$CB=3$$.
- По теореме Пифагора: $$AB^2 = 9+12 = 21$$.
Основание равнобедренного треугольника имеет длину $$6$$. Если медиана, проведенная к основанию, равна $$4$$, то медиана, проведенная к его боковой стороне, равна:
- Из теоремы Пифагора (рис. 5):
$$CB=\sqrt{16+9}=5$$.
- Достроим треугольник $$ACB$$ до параллелограмма (рис. 6).
По свойству диагоналей параллелограмма:
$$AD^2+CB^2=2AC^2+2AB^2$$,
$$4x^2+25=50+72$$, откуда $$x=0,5\sqrt{97}$$.
Если косинус одного из острых углов прямоугольного треугольника равен $$0,6$$, то тангенс другого острого угла этого треугольника равен:
- Так как $$\cos \alpha =0,6$$, то $$\sin \alpha = \sqrt{1-0,36}=0,8$$ (рис. 2).
- $$\cos \beta = \cos (90^{\circ}- \alpha) = \sin \alpha=0,8$$.
- По формуле $$1+tg^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$$ получим:
$$1+tg^2 \beta = \frac{1}{0,64}$$, $$tg^2 \beta = \frac{25}{16}-1$$, $$tg \beta = \frac{3}{4}$$.
В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность. Если сторона треугольника равна $$2\sqrt{6}$$, то площадь образовавшегося кольца равна:
- Радиус описанной окружности:
$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$, $$R=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{2}$$.
Площадь круга: $$S_1=\pi R^2=8\pi$$.
- Радиус вписанной окружности:
$$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$, $$r=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\sqrt{2}$$.
Площадь круга: $$S_2=\pi r^2 = 2\pi$$.
- Площадь кольца: $$S_1 - S_2 = 6\pi$$.
Если разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна $$\frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, то площадь правильного треугольника, вписанного в этот круг, равна:
- Площадь квадрата (рис. 10): $$S_1 = a^2 =4r^2$$.
- Площадь круга: $$S_2 = \pi r^2$$.
- Так как $$S_1-S_2=\frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, то $$4r^2 - \pi r^2 = \frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, $$r^2 (4-\pi)=\frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, откуда $$r=\frac{2}{\sqrt[4]{3}}$$.
- По формуле $$r=\frac{b}{\sqrt{3}}$$ найдем сторону треугольника:
$$\frac{2}{\sqrt[4]{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}$$, откуда $$b=2\sqrt[4]{3}$$.
- Площадь треугольника:
$$S=\frac{\sqrt{3}b^2}{4}=\frac{\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}}{4}=3$$.