Стереометрия КТ 5
Гипотенуза $$AB$$ треугольника $$ABC$$ параллельна плоскости $$\alpha$$ и удалена от нее на расстояние, равное $$2$$. Если вершина $$C$$ треугольника принадлежит плоскости, а проекции катетов на эту плоскость равны $$6$$ и $$10$$, то длина гипотенузы равна:
По теореме Пифагора (рис. 10):
$$AC^2 = 4 + 36 = 40$$;
$$BC^2 = 4 + 100 = 104$$;
$$AB = \sqrt{40 + 104} = 12$$.
Развертка усеченного конуса – часть кругового кольца, ширина которого равна $$\frac{3}{\pi}$$. Если длины дуг развертки соответственно равны $$2\pi$$ и $$4\pi$$, то площадь боковой поверхности конуса равна:
- Так как $$C_1 = 2\pi r_1$$, то $$2\pi = 2\pi r_1$$, откуда $$r_1 = 1$$.
- Так как $$C_2 = 2\pi r_2$$, то $$4\pi = 2\pi r_2$$, откуда $$r_2 = 2$$.
- Площадь боковой поверхности конуса:
$$S = \pi (r_1 + r_2)l$$, $$S = \pi (1 + 2) \cdot \frac{3}{\pi} = 9$$.
Прямоугольный треугольник с катетами $$4$$ и $$3$$ вращается вокруг меньшего катета. Поверхность тела вращения равна:
Тело вращения: конус (рис. 2).
По теореме Пифагора: $$l = \sqrt{9 + 16} = 5$$.
Тогда, $$S = \pi r^2 + \pi rl$$, $$S = 16\pi + 20\pi = 36\pi$$.
В правильный тетраэдр, сторона основания которого равна $$2\sqrt{3}$$, вписан конус, имеющий общую вершину с тетраэдром. Площадь боковой поверхности конуса равна:
- Так как $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$$ (рис. 7),
то $$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{12 - 4} = 2\sqrt{2}$$.
- Так как $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$$, то $$l = \sqrt{h^2 + l^2} = \sqrt{8 + 1} = 3$$.
- Площадь боковой поверхности конуса: $$S = \pi rl = 3\pi$$.
В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар. Если объем шара равен $$4\sqrt{3}\pi$$, то площадь поверхности конуса равна:
- Так как $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$, то $$4\sqrt{3}\pi = \frac{4}{3}\pi R^3$$, $$R^3 = 3\sqrt{3}$$, $$R = \sqrt{3}$$ (рис. 5).
- Так как $$\bigtriangleup BOC \sim \bigtriangleup BKP$$, то $$\frac{BO}{BK} = \frac{OC}{KP} = \frac{BC}{BP}$$.
Так как $$l = 2r$$ и $$CO = CK = r$$, то $$BK = r$$.
Получим: $$\frac{h}{r} = \frac{r}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{h - \sqrt{3}}$$, откуда $$h = 3\sqrt{3}$$, а $$r = 3$$.
- Площадь поверхности конуса:
$$S = \pi r^2 + \pi rl = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2 = 27\pi$$.
Если все вершины правильного тетраэдра, ребро которого равно $$2\sqrt{6}$$, лежат на поверхности шара, то радиус этого шара равен:
- Радиус окружности, описанной около основания тетраэдра:
$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}$$.
- Высота тетраэдра:
$$SO = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{24 - 8} = 4 = h$$.
- По теореме Пифагора:
$$x^2 = R^2 + DC^2$$, $$x^2 = 8 + (4 - x)^2$$,
$$x^2 = 8 + 16 - 8x +x^2$$, откуда $$x = 3$$.
На рисунке 9: точка $$O$$ – центр шара, $$x$$ – радиус шара.
Если радиус основания конуса равен $$5$$, а разверткой его боковой поверхности является круговой сектор с центральным углом $$120^{\circ}$$, то площадь боковой поверхности конуса равна:
- Длина окружности в основании конуса (рис. 3):
$$C = 2\pi r = 10\pi$$.
- Длина дуги развертки боковой поверхности конуса (рис. 4):
$$L = \frac{2\pi l}{360^{\circ}} \cdot 120^{\circ} = \frac{2\pi l}{3}$$.
- Так как $$C = L$$, то $$10\pi = \frac{2\pi l}{3}$$, откуда $$l = 15$$.
- Площадь боковой поверхности конуса:
$$S = \pi rl = 75\pi$$.
Одна из вершин верхнего основания параллелепипеда равноудалена от всех сторон его нижнего основания, а от смежных вершин этого основания находится на расстоянии $$4$$ и $$2\sqrt{6}$$. Если высота параллелепипеда равна $$2\sqrt{3}$$, то площадь его боковой поверхности не превосходит все целые числа, наименьшее из которых равно:
- Из теоремы Пифагора:
$$AO = \sqrt{A_{1}A^2 - h^2} = \sqrt{24 - 12} = 2\sqrt{3}$$;
$$DO = \sqrt{A_{1}D^2 - h^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$$.
- Тогда, $$a = \sqrt{OA^2 + OD^2} = \sqrt{12 + 4} = 4$$.
- Так как $$S_{DOC} = \frac{OD \cdot OC}{2} = \frac{DC \cdot OK}{2}$$, то
$$2 \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot OK$$, откуда $$OK = \sqrt{3}$$.
- По теореме Пифагора:
$$A_{1}K = \sqrt{OK^2 + h^2} = \sqrt{3 + 12} = \sqrt{15}$$.
- Площадь боковой поверхности параллелепипеда:
$$S = 4 \cdot a \cdot A_{1}K = 16\sqrt{15}$$.
- Так как $$16\sqrt{15} < 16 \cdot 4$$, то искомое число равно 64.
Основание параллелепипеда – ромб $$ABCD$$ (рис. 8).
Если радиус окружности, описанной около грани правильного тетраэдра, равен $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$, то объем тетраэдра равен:
- По формуле $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ получим:
$$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, откуда $$a = 2$$ (рис. 6).
Рис. 6 - Из теоремы Пифагора:
$$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{4 - \frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$.
- Площадь основания пирамиды:
$$S = \frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$, $$S = \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{4} = \sqrt{3}$$.
- Объем пирамиды:
$$V = \frac{S \cdot h}{3}$$, $$V = \frac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$.
Если сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда равна $$120$$, а его измерения относятся как $$2 : 3 : 5$$, то площадь полной поверхности параллелепипеда равна:
- Пусть $$a = 2k$$, $$b = 3k$$, $$c = 5k$$ (рис. 1).
Тогда, $$(2k + 3k + 5k) \cdot 4 = 120$$, откуда $$k = 3$$.
Следовательно, $$a = 6$$, $$b = 9$$, $$c = 15$$.
- По формуле $$S = 2ab + 2ac + 2bc$$ получим:
$$S = 2 \cdot 54 + 2 \cdot 90 + 2 \cdot 135 = 558$$.