Стереометрия КТ 7
Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $$4\sqrt{3}$$ и $$3\sqrt{3}$$. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом $$45^{\circ}$$, то боковая поверхность пирамиды равна:
- Рассмотрим основание пирамиды:
$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{48 + 27} = 5\sqrt{3}$$;
$$r = \frac{AC + BC -AB}{2} = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$.
- Так как $$\angle SDO = 45^{\circ}$$, то $$h = r = \sqrt{3}$$.
Тогда, $$SD = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$$.
- Найдем боковую поверхность пирамиды:
$$S = \frac{1}{2}P_{осн.} \cdot SD$$, $$S = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{6} = 18\sqrt{2}$$.
На рисунке 3 точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
Пирамида, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник, вписана в цилиндр. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а линейный угол двугранного угла, образованного этими гранями, равен $$0,5\pi$$. Если образующая цилиндра равна $$5\sqrt{3}$$, а медиана основания пирамиды, проведенная к гипотенузе, равна $$5$$, то наибольшая из граней пирамиды имеет площадь:
На рисунке 7 точка $$O$$ – центр основания цилиндра.
Так как $$\angle AOB = 90^{\circ}$$ и $$OC = 5$$, то $$R = 5$$, а $$AB = 10$$.
По теореме Пифагора: $$SO = \sqrt{CO^2 + CS^2} = \sqrt{25 + 75} = 10$$.
Площадь грани $$ASB$$: $$S = \frac{1}{2}AB \cdot SO = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50$$.
Если меньшая диагональ прямого параллелепипеда равна $$3\sqrt{2}$$ и образует с плоскостью основания угол, тангенс которого равен $$1$$, а его основанием является ромб с углом $$120^{\circ}$$, то объем параллелепипеда равен:
- Рассмотрим треугольник $$B_{1}BD$$ (рис. 2).
Так как $$tg \angle B_{1}DB = 1$$, то $$\angle B_{1}DB = 45^{\circ}$$, а $$BB_1 = DB = x$$.
- По теореме Пифагора:
$$x^2 + x^2 = d^2$$, $$2x^2 = 18$$, $$x = 3$$.
- Рассмотрим ромб $$ABCD$$.
Так как $$\angle ADC = 120^{\circ}$$, то $$\angle BAD = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$.
Следовательно, $$AD = a =3$$.
Найдем площадь ромба: $$S = a^2 \cdot sin \angle A = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$.
- Найдем объем параллелепипеда:
$$V = S_{осн.} \cdot H$$, $$V = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = 13,5\sqrt{3}$$.
Основанием тетраэдра служит треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AB = BC = 5$$ и $$AC = 6$$, а все его боковые ребра имеют одинаковую длину. Если площадь сечения, проходящего через сторону $$AC$$ нижнего основания тетраэдра перпендикулярно противолежащему ей боковому ребру, равна $$6\sqrt{3}$$, то плоскость сечения наклонена к плоскости основания тетраэдра под углом, градусная мера которого равна:
- Так как $$S_{CKB} = \frac{1}{2} \cdot CB \cdot KD = 6\sqrt{3}$$ (рис. 8),
то $$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot KD = 6\sqrt{3}$$, откуда $$KD = 2\sqrt{3}$$.
- Из теоремы Пифагора:
$$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$$.
- Тогда, $$cos \angle ADK = \frac{DK}{DA} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, откуда $$\angle ADK = 30^{\circ}$$.
Если объем конуса равен $$2$$ и расстояние от центра основания до образующей равно $$2$$, то площадь боковой поверхности конуса равна:
- Так как $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$, то $$\pi r^2 h = 6$$, $$h = \frac{6}{\pi r^2}$$.
- Так как $$\bigtriangleup AFO \sim \bigtriangleup AOB$$ (рис. 6), то
$$\frac{FO}{OB} = \frac{AO}{AB}$$, $$\frac{2}{h} = \frac{r}{l}$$, $$\frac{2\pi r^2}{6} = \frac{r}{l}$$, $$\frac{\pi r}{3} = \frac{1}{l}$$, откуда $$\pi rl = 3$$.
- Площадь боковой поверхности: $$S = \pi rl = 3$$.
Если осевое сечение цилиндра – квадрат с диагональю $$6$$ см, то объем цилиндра равен:
Квадрат $$ABCD$$ – осевое сечение цилиндра (рис. 1).
Так как $$AB = AD = l$$, то $$l^2 + l^2 = 36$$, откуда $$l = 3\sqrt{2}$$ (см).
Тогда, $$r = \frac{l}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ (см).
Найдем объем цилиндра:
$$V = \pi r^2 h$$, $$V = \pi \cdot \frac{9}{2} \cdot 3\sqrt{2} = 13,5\sqrt{2}\pi$$ ($$см^3$$).
Если шар касается всех граней куба, объем которого равен $$7$$, то площадь его поверхности равна:
- Так как $$V = a^3$$, то $$7 = a^3$$, откуда $$a = \sqrt[3]{7}$$.
- Радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в грань куба:
$$R = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2}$$.
- Площадь поверхности шара:
$$S = 4\pi R^2$$, $$S = 4\pi \cdot \frac{\sqrt[3]{49}}{4} = \sqrt[3]{49} \pi$$.
Основанием пирамиды является правильный треугольник, а одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно $$4$$. Если радиус шара, описанного вокруг пирамиды равен $$4$$, то ребро основания пирамиды равно:
- Из теоремы Пифагора:
$$DG = \sqrt{SG^2 - SD^2} = \sqrt{16-4} = 2\sqrt{3}$$.
- Радиус окружности, описанной около основания пирамиды:
$$R = DG = 2\sqrt{3}$$. Но так как $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, то $$a = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6$$.
На рисунке 9: точка $$G$$ – центр шара, $$GS = GA = 4$$ – радиус шара, точка $$O$$ – центр основания пирамиды.
Усеченный конус вписан в шар радиуса $$50$$ см. Если центры оснований конуса удалены от центра шара на расстояния $$1$$ дм и $$4$$ дм, то сумма площадей оснований конуса равна:
- Из теоремы Пифагора (рис. 5):
$$r_1 = \sqrt{25 - 16} = 3$$ (дм); $$r_2 = \sqrt{25 - 1} = 2\sqrt{6}$$ (дм).
- $$S_1 + S_2 = \pi r_{1}^2 + \pi r_{2}^2 = 9\pi +24\pi = 33\pi$$ ($$дм^2$$).
Если осевое сечение конуса – равнобокая трапеция с основаниями $$4$$ и $$16$$ и углом $$45^{\circ}$$, то объем конуса равен:
- Так как $$\angle A = 45^{\circ}$$ (рис. 4), $$r_1 = 2$$, $$r_2 = 8$$, то:
$$h = AB = r_2 - r_1 = 6$$.
- Объем конуса:
$$V = \frac{1}{3}\pi h(r_{1}^2 + r_{2}^2 + r_{1}r_2)$$, $$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 6 \cdot(4+64+16) = 168\pi$$.