Неравенства КТ 8
Площадь фигуры, удовлетворяющей условию $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \left | y \right |+\left | x \right |\leq 4,\\ &\ \left | y \right |+\left | x \right |\geq 2, \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ равна:
Неравенству $$\left | y \right |+\left | x \right |\leq 4$$ удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных внутри квадрата и на его границе. 
Неравенству $$\left | y \right |+\left | x \right |\geq 2$$ удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных вне квадрата и на его границе (рис. 3).
По формуле $$S=\frac{d^{2}}{2}$$ найдем площади квадратов:
$$S_{1}=\frac{8^{2}}{2}=32$$ , $$S_{2}=\frac{4^{2}}{2}=8$$ .
Тогда, $$S=32-8=24$$ .
Введите ответ в поле
Количество целых решений неравенства $$\left | (\sqrt{7}+\left | x \right |) \left (\left | x \right |-7 \right )\right|< 0$$ равно:
Так как $$\sqrt{7}+\left | x \right |> 0$$ , то $$\left | x \right |-7< 0$$ ,
откуда $$x\in (-7;7)$$ .
Целые решения:
$$–6$$; $$–5$$; $$–4$$; $$–3$$; $$–2$$; $$–1$$; $$0$$; $$1$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$5$$; $$6$$.
Выберите один из вариантов
Произведение всех целых чисел, которые образуют решение неравенства $$0,3^{x}-3\cdot0,3^{x+1}< 10^{-1}$$ на промежутке $$[-3;4)$$ , равно:
1. $$0,3^{x}(1-3\cdot0,3)< 0,1$$ ,
$$0,3^{x}< 1$$ , откуда $$x> 0$$ .
2. $$1\cdot2\cdot3=6$$ .
Выберите один из вариантов
Середина промежутка, который образуют все решения неравенства $$\sqrt{x+2}-\sqrt{x-3}\geq 1$$ , равна:
1. ОДЗ: $$x\geq 3$$ .
2. $$(\sqrt{x+2})^{2}\geq (1+\sqrt{x-3})^{2}$$ ,
$$x+2\geq 1+2\sqrt{x-3}+x-3$$ ,
$$2\geq \sqrt{x-3}$$ , $$x-3\leq 4$$ , $$x\leq 7$$ .
3. Решение неравенства: $$[3;7]$$ .
4. $$(3+7):2=5$$ .
Выберите один из вариантов
Сумма целых неотрицательных решений неравенства $$\log _{10-x}(x^{2}+8x+15)>\log _{10-x}15 $$ равна:
1. Выполним преобразования: 
$$\log_{10-x}\frac{x^{2}+8x+15}{15}> 0$$ .
2. Рассмотрим функцию:
$$f(x)=\log_{10-x}\frac{x^{2}+8x+15}{15}$$ .
$$D(f)$$: $$x<10$$ , $$x\neq 9$$ , $$x^{2}+8x+15> 0$$ ,
откуда $$x\in (-\infty ;-5)\cup(3;9)\cup(9;10)$$ (рис. 6).
Нули функции: $$\frac{x^{2}+8x+15}{15}=1$$ , $$x^{2}+8x=0$$ ,
откуда $$x=-8$$ , $$x=0$$ .
3. Решение неравенства (рис. 7):
$$x\in (-\infty ;-8)\cup(0;9)$$ .
4. $$1+2+3+4+5+6+7+8=45$$ .
Введите ответ в поле
Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$\log_{2}(2+x)+\log_{2}(2-x)< 3$$ , равна:
1. ОДЗ: $$x\in (-2;2)$$ .
2. $$\log_{2}(2+x)(2-x)< 3$$ ,
$$4-x^{2}< 8$$ ,
$$x^{2}> -4$$ ,
Следовательно, $$x\in (-2;2)$$ .
3. $$2+2=4$$ .
Выберите один из вариантов
Целое решение (или сумма всех целых решений) неравенства $$\sqrt[4]{15+x}-\sqrt[4]{2-x}-1\geq 0$$ равно:
1. Рассмотрим функцию: $$f(x)=\sqrt[4]{15+x}-\sqrt[4]{2-x}-1$$ .
$$D(f): -15\leq x\leq 2$$ . 
Найдем нули функции, решая уравнение
$$\sqrt[4]{15+x}=1+\sqrt[4]{2-x}$$ .
Так как функция $$y=\sqrt[4]{15+x}$$ монотонно возрастает, а функция $$y=1+\sqrt[4]{2-x}$$ монотонно убывает, то уравнение имеет не более одного корня.
Убедимся, что $$x=1$$ – корень уравнения:
$$\sqrt[4]{15+1}=1+\sqrt[4]{2-1}$$ , $$2=2$$ .
2. Решение неравенства (рис. 4): $$[1;2]$$ .
3. $$1+2=3$$ .
Введите ответ в поле
Наибольшее целое число, не принадлежащее области определения функции $$y=\frac{\sqrt{x^{2}-2x-24}}{\sqrt{(x+1)^{3}}}$$, равно:
1. Область определения:
$$x^{2}-2x-24\geq 0$$ и $$x> -1$$ , 
откуда $$x\in [6;+\infty )$$ (рис. 2).
2. $$x\neq 5$$ .
Введите ответ в поле
Количество целых чисел, принадлежащих области определения функции $$f(x)=\frac{\sqrt{{7-8\cdot7^{x}}+49^{x}}}{x^{2}-16}$$ и удовлетворяющих условию $$x^{2}\leq 49$$ , равно:
1. Решим неравенство $$49^{x}-8\cdot7^{x}+7\geq 0$$ . 
Найдем корни уравнения: $$49^{x}-8\cdot7^{x}+7=0$$ .
Получим: $$7^{x}=1$$ , откуда $$x=0$$ ; $$7^{x}=7$$ , откуда $$x=1$$ .
Решение неравенства: $$x\in [-7;0]\cup[1;7]$$ (рис. 5).
2. Учитывая, что $$x\neq \pm 4$$ , получим:
$$–7$$; $$–6$$; $$–5$$; $$–3$$; $$–2$$; $$–1$$; $$0$$; $$1$$; $$2$$; $$3$$; $$5$$; $$6$$; $$7$$.
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое целых решений неравенства $$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}\leq 0$$ равно:
1. Решения неравенства (рис. 1):
$$x\in (-2;-1) \cup (-1;1]$$ . 
2. $$(0+1):2=0,5$$ .
Выберите один из вариантов