Неравенства КТ 11
Сумма всех целых положительных чисел, которые не являются решениями неравенства $$\frac{\left | 2+x \right |}{x-2}< 2$$ , равна:
1. Если $$x<-2$$ , то $$\frac{-2-x}{x-2}< 2$$ ,
$$\frac{2+x}{x-2}> -2$$ , $$2+x< -2x+4$$ , $$x< \frac{2}{3}$$ . 
Следовательно, $$x\in \left ( -\infty ;-2 \right )$$ .
2. Если $$x\geq -2$$ , то $$\frac{2+x}{x-2}<2$$ , $$\frac{6-x}{x-2}< 0$$ ,
$$x\in \left [-2;2 \right )\cup \left ( 6;+\infty \right )$$ (рис. 1).
3. Решение неравенства: $$x\in \left (-\infty ;2 \right )\cup \left ( 6;+\infty \right )$$ .
Тогда, $$2+3+4+5+6=20$$ .
Выберите один из вариантов
Количество целых чисел, принадлежащих области определения функции $$f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-16}{7-8\cdot 7^{x}+49^{x}}}$$ и удовлетворяющих условию $$x^{2}\leq 49$$ , равно:
Решим неравенство $$\frac{x^{2}-16}{49^{x}-8\cdot 7^{x}+7}\geq 0$$ .
Найдем корни уравнений:
1) $$x^{2}-16=0$$ , откуда $$x=\pm 4$$ ;
2) $$49^{x}-8\cdot 7^{x}+7=0$$ , откуда
$$7^{x}=1$$ , тогда $$x=0$$ или $$7^{x}=7$$ , тогда $$x=1$$ .
Решение неравенства (рис. 4):
$$x\in \left [ -7;-4 \right ]\cup \left ( 0;1 \right )\cup \left [ 4;7 \right ]$$ .
2. Целые решения неравенства:
$$–7$$; $$–6$$; $$–5$$; $$–4$$; $$4$$; $$5$$; $$6$$; $$7$$. 
Введите ответ в поле
Середина промежутка, который образуют все решения неравенства $$\log_{3}^{2}(x+4)< 1$$ , равна:
1. ОДЗ: $$x>-4$$ .
2. $$\left | \log _{3}(x+4) \right |< 1$$ ,
$$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \log _{3}(x+4)<1,\\ &\ \log _{3}(x+4)>-1; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ x+4<3,\\ &\ x+4>\frac{1}{3}; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ x<-1,\\ &\ x>-3\frac{2}{3}; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$x\in \left ( -3\frac{2}{3};-1 \right )$$ .
3. $$\left ( -\frac{11}{3}-1 \right ):2=-\frac{7}{3}$$ .
Выберите один из вариантов
Число всех целых решений неравенства $$(\sqrt{2})^{4x}+2^{2x+1}-8^{\frac{2(x-1)}{3}}< 11$$ при условии, что $$\left | x \right |\leq 1$$ , равно:
1. $$2^{2x}+2^{2x+1}-2^{2x-2}< 11$$ ,
$$2^{2x-2}(2^{2}+2^{3}-1)< 11$$ ,
$$2^{2x-2}< 1$$ ,
$$2x-2< 0$$ ,
$$x< 1$$ .
2. Целые решения: $$–1$$; $$0$$.
Выберите один из вариантов
Произведение наибольшего отрицательного числа из области определения и наименьшего числа из области значений функции $$f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+1}}$$ равно:
Запишем функцию в виде: $$f(x)=\frac{x+1}{|x+1|}$$ .
1. $$D(f):x\in R/x\neq -1$$ .
2. Если $$x<-1$$ , то $$f(x)=-\frac{x+1}{x+1}=-1$$ .
Если $$x>-1$$ , то $$f(x)=\frac{x+1}{x+1}=1$$ .
Следовательно, $$E(f):y=\pm 1$$ .
3. $$-2\cdot (-1)=2$$ .
Введите ответ в поле
Решение неравенства $$\frac{4x^{2}+5x+16}{x^{2}+6}\leq 1$$ имеет вид:
1. Выполним преобразования:
$$\frac{4x^{2}+5x+16}{x^{2}+6}-1\leq 0$$ , $$\frac{3x^{2}+5x+10}{x^{2}+6}\leq 0$$ .
2. Так как $$x^{2}+6> 0$$ и $$3x^{2}+5x+10> 0$$, то $$x\in \varnothing$$ .
Выберите один из вариантов
Модуль разности длин промежутков, образующих область определения функции $$y=\left ( \sqrt{\log _{0,6}(16x^{2}-32x+7)}\right )^{-1}$$ , равен:
Решим систему неравенств: 
1) $$16x^{2}-32x+7>0$$ ,
откуда $$x\in (-\infty ;0,25)\cup (1,75;+\infty )$$ (рис. 5).
2) $$\log _{0,5}{(16x^{2}-32x+7)}>0$$ ,
$$16x^{2}-32x+7<1$$ ,
$$8x^{2}-16x+3<0$$,
откуда $$x\in \left ( 1-\frac{\sqrt{10}}{4};1+\frac{\sqrt{10}}{4} \right )$$ (рис. 6).
Решение системы неравенств:
$$x\in \left ( 1-\frac{\sqrt{10}}{4};\frac{1}{4} \right )\cup \left ( \frac{7}{4};1+\frac{\sqrt{10}}{4} \right )$$ .
Тогда, $$\left | \frac{1}{4}-1+\frac{\sqrt{10}}{4}-1-\frac{\sqrt{10}}{4}+\frac{7}{4} \right |=0$$ .
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое всех целых значений $$a$$, для которых неравенство $$\frac{x^{2}-ax+1}{2x^{2}+2x+3}< 1$$ выполняется при любых $$x$$, равно:
Так как $$2x^{2}+2x+3> 0$$ , то
$$x^{2}-ax+1<2x^{2}+2x+3 $$ ,
$$x^{2}+(2+a)x+2> 0$$ .
Следовательно, $$D=(2+a)^{2}-8< 0$$ , откуда
$$\left | 2+a \right |< \sqrt{8}$$ ,
$$-\sqrt{8}< 2+a< \sqrt{8}$$ ,
$$-\sqrt{8}-2< a<\sqrt{8}-2 $$ .
Тогда, $$(-4-3-2-1+0):5=-2$$ .
Введите ответ в поле
Площадь фигуры, удовлетворяющей системе неравенств $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \left | y \right |\leq 4-\sqrt{x^{2}-10x+25},\\ &\ \sqrt{(x-5)^{2}}+\sqrt{(y-1)^{2}}\geq 2, \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ равна:
Запишем систему в виде: $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \left | x-5 \right |+\left | y \right |\leq 4,\\ &\ \left | x-5 \right |+\left | y-1 \right |\geq 2 .\end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ 
Имеем квадраты (рис. 3):
1) $$\left | x-5 \right |+\left | y \right |=4$$ с центром в точке $$A(5;0)$$ и $$d=8$$;
2) $$\left | x-5 \right |+\left | y-1 \right| = 2$$ с центром в точке $$B(5;1)$$ и $$d=4$$ .
По формуле $$S=\frac{d^{2}}{2}$$ найдем площади квадратов:
$$S_{1}=\frac{8^{2}}{2}=32$$ , $$S_{2}=\frac{4^{2}}{2}=8$$ .
Тогда, $$S=32-8=24$$ .
Введите ответ в поле
Число натуральных решений неравенства $$\sqrt[3]{2x^{2}+x-1}\cdot \sqrt[6]{4-x}> 0$$ равно:
1. ОДЗ: $$x\leq 4$$ . 
2. Решение неравенства (рис. 2): $$x\in \left ( -\infty ;-1 \right )\cup \left ( 0,5;4 \right )$$ .
3. Натуральные решения: $$1$$; $$2$$; $$3$$.
Выберите один из вариантов