Неравенства КТ 13
Решение неравенства $$|(\sqrt2-x)(x+\sqrt2)|>(x-1)(x+1)$$ имеет вид:
$$\left [\begin{matrix}
x^2-2>x^2-1,\hfill\\
x^2-2<-x^2+1; \end{matrix}\right.$$
$$\left [\begin{matrix}
0>1,\hfill\\
x^2<1,5; \end{matrix}\right.$$
$$|x|<\sqrt{1,5}$$,
откуда $$x\in(-\sqrt{1,5};\sqrt{1,5})$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Все решения неравенства $$\sqrt{x-3}+4\geq x$$ удовлетворяют условию:
1. Запишем неравенство в виде: $$\sqrt{x-3}+4-x\geq0$$. 
2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x-3}+4-x$$.
$$D(f):x\geq3$$.
Найдем нули функции:
$$\sqrt{x-3}=x-4$$, где $$x\geq4$$,
$$x-3=x^2-8x+16$$, $$x^2-9x+19=0$$,
откуда $$x_1=\frac{9-\sqrt5}{2}$$ (посторонний корень), $$x_2=\frac{9+\sqrt5}{2}$$.
3. Решение неравенства: $$\left[3;\frac{9+\sqrt5}{2}\right]$$ (рис. 2).
Выберите несколько вариантов ответов
Множество всех решений неравенства $$3^{\sqrt x-3}\geq-3^3$$ имеет вид:
ОДЗ: $$x\geq0$$.
Неравенство выполняется на ОДЗ.
Выберите несколько вариантов ответов
Разность наибольшего отрицательного и наименьшего положительного целых решений неравенства $$log_3(x^2+6x+9)\geq log_3(x^2+6x+5)$$ равна:
1. ОДЗ: $$(x+3)^2>0$$ и $$(x+1)(x+5)>0$$, откуда 
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-1;+\infty)$$ (рис.5).
2. $$x^2+6x+9\geq x^2+6x+5$$, откуда $$9\geq5$$,
Следовательно, $$x\in(-\infty;-5)\cup(-1;+\infty)$$.
3. $$-6-1=-7$$.
Введите ответ в поле
Количество целых решений неравенства $$2x-1<x^2<2x+1$$ равно:
$$\left\{
\begin{aligned}
x^2&>2x-1,\\
x^2&<2x+1;
\end{aligned}
\right.$$
$$\left\{
\begin{aligned}
(x-1)^2&>0,\\
x^2-2x-1&<0.
\end{aligned}
\right.$$ 
1. Решение первого неравенства системы:
$$x\in R/x\neq1$$.
2. Решение второго неравенства системы:
$$x\in(1-\sqrt2;1+\sqrt2)$$ (рис. 3).
3. Целые решения системы неравенств: $$0$$ и $$2$$.
Введите ответ в поле
Количество целых решений неравенства $$\left(\frac{5}{6}\right)^{x^2}<1,2^{36-2x^2}\leq\left(\frac{25}{36}\right)^{-x^2}$$ равно:
1. $$1,2^{-x^2}<1,2^{36-2x^2}\leq1,2^{2x^2}$$,
$$\left\{
\begin{aligned}
36-2x^2>-x^2,\\
36-2x^2\leq2x^2;
\end{aligned}
\right.$$
$$\left\{
\begin{aligned}
x^2<36, \\
x^2\geq9;
\end{aligned}
\right.$$
$$\left\{
\begin{aligned}
|x|<6, \\
|x|\geq3;
\end{aligned}
\right.$$
$$x\in(-6;-3]\cup[3;6)$$.
2. Целые решения неравенства: $$–5; –4; –3; 3; 4; 5$$.
Введите ответ в поле
Сумма длин промежутков, которые образуют решения неравенства $$5x^2+2\leq11\sqrt{x^2}$$, увеличенная в $$1\frac{2}{3}$$ раза, равна:
1. Запишем неравенство в виде: $$5|x|^2-11|x|+2\leq0$$. 
2. Рассмотрим функцию $$f(x)=5|x|^2-11|x|+2$$.
Нули функции:
$$|x|=0,2$$, откуда $$x=\pm0,2$$ или $$|x|=2$$, откуда $$x=\pm2$$.
3. Решение неравенства (рис. 4): $$[-2;-0,2]\cup[0,2;2]$$.
4. $$\frac{5}{3}\cdot(-0,2+2+2-0,2)=6$$.
Введите ответ в поле
Длина промежутка, который является решением неравенства $$log_{0,3}(x+3)>2$$, равна:
ОДЗ: $$x>-3$$.
2. $$x+3<0,09$$, откуда $$x<-2,91$$.
3. $$-2,91+3=0,09$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$3(x+2)(3-x)>0$$ равно:
1. Решения неравенства (рис. 1): $$x\in(-2;3)$$. 
2. $$(-1+0+1+2):4=0,5$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Сумма всех целых решений неравенства $$x^3+6x^2+12|x|+8>0$$, принадлежащих промежутку $$[0;8)$$, равна:
Так как $$x\geq0$$, то $$x^3+6x^2+12x+8>0$$, $$(x+2)^2>0$$, $$x>-2$$.
Решение неравенства: $$x\geq0$$.
Тогда, $$0+1+2+3+4+5+6+7=28$$.
Введите ответ в поле