Неравенства КТ 15
Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$(0,1x)^{\lg x-3}<1000$$ , равна:
1. Запишем неравенство в виде:
$$(0,1x)^{\lg x-3}-1000<0$$ . 
ОДЗ: $$x>0$$ .
2. Найдем нули функции
$$f(x)=(0,1x)^{\lg x-3}-1000$$ .
Пусть $$\lg x=a$$ , тогда $$x=10^{a}$$ .
Получим:
$$(10^{-1}\cdot 10^{a})^{a-3}-10^{3}=0$$ ,
$$10^{(a-1)(a-3)}=10^{3}$$ ,
$$(a-1)(a-3)=3$$ ,
$$a^{2}-4a=0$$ , откуда $$a=0$$ или $$a=4$$ .
Тогда: $$x=1$$ или $$x=10^{4}$$ .
3. Решение неравенства: $$(1;10000)$$ (рис. 9).
4. $$10000-1=9999$$ .
Введите ответ в поле
Сумма наибольшего положительного и наибольшего целого отрицательного решений неравенства
$$\frac{\sqrt{2-x}}{x}+2\geq \frac{3}{x}$$ равна:
1. Запишем неравенство в виде:
$$\frac{\sqrt{2-x}-3+2x}{x}\geq 0$$ . 
ОДЗ: $$x\leq 2$$ и $$x\neq 0$$ .
2. Решим уравнение:
$$\sqrt{2-x}=3-2x$$ , где $$x\leq 1,5$$ ,
$$2-x=9-12x+4x^{2}$$ ,
$$4x^{2}-11x+7=0$$ ,
откуда $$x_{1}=1$$ , $$x_{2}=1,75$$ – посторонний корень.
3. Решение неравенства (рис. 7): $$(-\infty ;0)\cup [1;2]$$ .
4. $$2-1=1$$ .
Введите ответ в поле
Длина промежутка, который образуют решения неравенства $$\log _{6}(x+2)\geq \log _{6}(x^{2}+1)$$, равна:
1. ОДЗ: $$x>-2$$ . 
2. $$x+2\geq x^{2}+1$$ ,
$$x^{2}-x-1\leq 0$$ ,
$$x\in \left [ \frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right ]$$ (рис. 2).
3. $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$$ .
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$\left | 8x+3 \right |<\left | 7-2x \right |$$ равно:
$$(8x+3)^{2}<(7-2x)^{2}$$ , 
$$(10x-4)(6x+10)<0$$ ,
$$(5x-2)(3x+5)<0$$ ,
$$x\in \left ( -1\frac{2}{3}; 0,4 \right )$$ (рис. 1).
Тогда, $$(-1+0):2=-0,5$$ .
Выберите один из вариантов
Решениями неравенства $$9x^{2}+6x+1>0$$ являются все действительные числа, принадлежащие множеству:
$$9x^{2}+6x+1>0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(3x+1)^{2}>0$$ ,
откуда $$x\in R/x\neq -\frac{1}{3}$$ .
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$\sqrt{x^{2}-10x+25}\leq 5+x$$ , удовлетворяющих условию $$\left | x \right |<5$$ , равно:
1. $$\left | x-5 \right |\leq 5+x$$ ;
$$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ x-5\leq 5+x,\\ &\ x-5\geq -5-x; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ -5\leq 5,\\ &\ x\geq 0; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$x\geq 0$$ .
2. $$(0+1+2+3+4):5=2$$ .
Выберите один из вариантов
Количество целых чисел, не являющихся решениями неравенства $$\sqrt{1000^{x}}+100>\sqrt{100^{x}}+100\sqrt{10^{x}}$$ , равно:
Запишем неравенство в виде: 
$$10^{1,5x}-10^{x}-100\cdot 10^{0,5x}+100\leq 0$$ .
Найдем нули функции
$$f(x)=10^{1,5x}-10^{x}-100\cdot 10^{0,5x}+100$$ .
Полагая $$10^{0,5x}=a$$ , получим:
$$a^{3}-a^{2}-100a+100=0$$ ,
$$a^{2}(a-1)-100(a-1)=0$$ ,
$$(a-1)(a-10)(a+10)=0$$ ,
откуда $$a_{1}=1$$ , $$a_{2}=10$$ , $$a_{3}=-10$$ .
Тогда:
а) $$10^{0,5x}=1$$ , откуда $$x=0$$ ;
б) $$10^{0,5x}=10$$ , откуда $$x=2$$ .
Решение неравенства (рис. 8): $$[0;2]$$ .
Введите ответ в поле
Произведение всех целых решений неравенства $$\frac{x^{2}-7|x|+10}{x^{2}-6x+9}\leq 0$$ равно:
1. Если $$x<0$$ , то $$\frac{x^{2}+7x+10}{x^{2}-6x+9}\leq 0$$ , $$\frac{(x+5)(x+2)}{(x-3)^{2}}\leq 0$$ , откуда $$x\in[-5;-2]$$ (рис. 5). 
2. Если $$x\geq 0$$ , то $$\frac{x^{2}-7x+10}{x^{2}-6x+9}\leq 0$$ , $$\frac{(x-5)(x-2)}{(x-3)^{2}}\leq 0$$, откуда $$x\in[2;3)\cup (3;5]$$ (рис. 6).
3. Решение неравенства: $$x\in[-5;-2]\cup [2;3)\cup (3;5]$$ .
4. $$-5\cdot (-4)\cdot (-3)\cdot (-2)\cdot 2\cdot 4\cdot 5=4800$$ .
Введите ответ в поле
Наименьшее целое решение неравенства $$\frac{3}{x^{2}-4}<\frac{1}{x+2}\leq \frac{x}{x-2}+\frac{1}{x+2}$$ равно:
$$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \frac{1}{x+2}>\frac{3}{x^{2}-4},\\ &\ \frac{1}{x+2}\leq \frac{x^{2}+3x-2}{(x-2)(x+2)}; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ 
$$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \frac{3}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x+2}<0,\\ &\ \frac{x^{2}+3x-2}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x+2}\geq 0; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \frac{5-x}{(x-2)(x+2)}<0,\\ &\ \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}\geq 0. \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$
1. Решение первого неравенства системы:
$$x\in (-2;2)\cup (5;+\infty )$$ (рис. 3).
2. Решение второго неравенства системы:
$$x\in (-\infty ;-2)\cup (-2;0]\cup (2;+\infty )$$ (рис. 4).
3. Решение системы неравенств:
$$x\in (2;0]\cup (5;+\infty )$$ .
4. Наименьшее целое решение: $$–1$$.
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое целых решений неравенства $$2^{2x+5}\leq 5^{2x+5}$$ , удовлетворяющих условию $$-5< x\leq 3$$ , равно:
$$\frac{2^{2x+5}}{5^{2x+5}}\leq 1$$ ,
$$0,4^{2x+5}\leq 0,4^{0}$$ ,
$$2x+5\geq 0$$ ,
$$x\geq -2,5$$ .
Тогда , $$(-2-1+0+1+2+3):6=0,5$$ .
Выберите один из вариантов