1. Определение степени:

   $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$;

   $$\sqrt{a}=a^\frac{1}{2}$$.

2. Свойства логарифмов:

   $$log_{a}a=1$$;

   $$log_{a}b^n=n\cdot log_{a}b$$.

Согласно свойствам логарифмов, запишем:
$$A=1-log_{3}3^{-3}+2(log_{3}3^\frac{1}{2})^2$$,

$$A=1+3log_{3}3+2(\frac{1}{2}log_{3}3)^2$$,

$$A=1+3+2\cdot \frac{1}{4}=4,5$$.

Различайте записи:

1) $$log_{a}b^n=n\cdot log_{a}b$$, где $$n$$ – степень аргумента.

2) $$log^n_{a}b=(log_{a}b)^n$$, где $$n$$ – степень логарифма.

Логарифмом числа $$b> 0$$ по основанию $$a$$ $$(a> 0,a\neq 0)$$ называют показатель степени $$c$$, в которую необходимо возвести $$a$$, чтобы получить $$b$$, и записывают $$log_{a}b=c$$ или $$b=a^c$$.

Не имеют смысла следующие из выражений:

1) $$log_{-2}3$$, так как основание логарифма не может быть отрицательным числом;

2) $$log_{3}(-2)$$, так как аргумент логарифма не может быть отрицательным числом;

3) $$log_{1}3$$, так как основание логарифма не может быть равным числу $$1$$.

Логарифм отрицательного числа и числа нуль не определен, а логарифм числа $$1$$ равен $$0$$. Например, $$log_{3}1=0$$.

Свойства логарифмов:
$$log_{a}b^n=n\cdot log_{a}b$$; 

$$log_{a}bc=log_{a}b+log_{a}c$$; 

$$log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$$; 

$$log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$$.

Выполним преобразования:
$$lg5=alg2$$, $$\frac{lg5}{lg2}=a$$, $$log_{2}5=a$$.

Тогда:

$$log_{6}5=\frac{1}{log_{5}6}=\frac{1}{log_{5}(2\cdot 3)}$$,

$$log_{6}5=\frac{1}{log_{5}2+log_{5}3}$$, 

$$log_{6}5=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{b+a}$$.

1. Десятичный логарифм числа $$b$$ записывают $$log_{10}b=lgb$$.
2. Выражения $$log_{b}a$$ и $$log_{a}b$$ взаимно обратные. Поэтому, если $$log_{2}5=a$$, то $$log_{5}2=\frac{1}{a}$$. Аналогично, так как $$log_{3}5=b$$, то $$log_{5}3=\frac{1}{b}$$.

Свойства логарифмов:
$$log_{a}a=1$$; 

$$log_{a}b^n=n\cdot log_{a}b$$; 

$$log_{a}bc=log_{a}b+log_{a}c$$; 

$$log_a\frac{b}{c}=log_ab-log_ac$$.

Согласно свойствам логарифмов, получим:
$$A=lg5+lg3^2-lg450=lg\frac{5\cdot 9}{450}$$,

$$A=lg\frac{1}{10}=lg10^{-1}$$,

$$A=-1\cdot lg10=-1$$.

Десятичный логарифм числа $$b$$ записывают $$log_{10}b$$ или $$lg$$$$b$$. Верно, что $$lg10=1$$.

Логарифм отрицательного числа и числа нуль не определен.

1. Так как аргумент логарифма должен быть положительным, то запишем:

   $$\frac{x+1}{(x-3)^2}>0$$, $$\begin{cases}  x+1>0, \\  x-3\neq 0 \end{cases}$$, $$\begin{cases}  x>-1, \\  x\neq 3.\end{cases}$$

   Получим: $$x\in (-1;3)\cup (3;+\infty )$$.

2. Найдем среднее арифметическое целых чисел, принадлежащих области определения данного выражения и не превосходящих число $$5$$:

   $$\frac{0+1+2+4+5}{5}=2,4$$.

1. Десятичный логарифм числа $$b$$ записывают:

   $$log_{10}b$$ или $$lg$$$$b$$.

2. Число $$a$$ не превосходит число $$a$$.

Свойства логарифмов:

$$log_{a}a=1$$;

$$log_{a}b^n=n\cdot log_{a}b$$;

$$log_{a^m}b=\frac{1}{m}log_{a}b$$;

$$log_{a}1=0$$.

По свойствам логарифмов, получим:
$$A=log_{3^{3}}log_{3^{-2}}\left ( log_{3}3^{\frac{1}{9}} \right )$$,

$$A=log_{3^{3}}log_{3^{-2}}\left ( \frac{1}{9}log_{3}3 \right )$$,

$$A=log_{3^{3}}log_{3^{-2}}\left ( \frac{1}{9} \right )$$,

$$A=log_{3^3}(log_{3^{-2}}3^{-2})$$,

$$A=log_{3^3}1=0$$.

Запись $$log_{a}log_{b}c=log_{a}(log_{b}c)$$ следует понимать так: число $$c$$ – аргумент логарифма с основанием $$b$$, а число $$log_{b}c$$, в свою очередь, аргумент логарифма с основанием $$a$$.

1. Определения степени:

   $$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$;

   $$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$$.

2. Свойства логарифмов:

   $$log_{a}a=1$$;

   $$log_{a}b^{n}=n\cdot log_{a}b$$;

   $$log_{a^m}b=\frac{1}{m}log_{a}b$$.

Согласно свойствам логарифмов, получим:
$$A=3log_{2^{-1}}2-log_{2^{-2}}2^\frac{1}{2}+log_{2^{-4}}2^3$$,

$$A=3\cdot (-1)log_22+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}log_22-\frac{1}{4}\cdot 3log_22$$,
$$A= -3+\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-3,5$$.

Все аргументы и все основания логарифмов мы представили в виде степеней числа $$2$$.

1. Свойства логарифмов:

   $$log_{a}b^n=n\cdot log_{a}b$$;

   $$log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$$.

2. Основное логарифмическое тождество:

   $$a^{log_{a}b}=b$$.

Согласно свойствам логарифмов, получим:
$$A=5\cdot 2^{log_{2}5^{-1}}+2^{\frac{1}{2}\cdot 4log_{16}9}-5^{\frac{2log_{5}27}{3}}$$,

$$A=5\cdot 5^{-1}+2^{2log_{2^4}3^2}-5^{\frac{2}{3}log_{5}3^3}$$,

$$A=1+2^{log_{2}3}-5^{log_{5}3^2}$$,

$$A=1+3-9=-5$$.

Справедливо равенство: 

$$log_{a^n}b^n=log_{a}b$$.

1. Формула квадрата суммы (разности):

   $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

2. Основное логарифмическое тождество:

   $$a^{log_{a}b}=b$$.

3. Правило раскрытия модуля: если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем; если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.

1. Преобразуем выражение под знаком радикала:
   $$3-\sqrt{8}=2-2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}-1)^2$$.
2. Применим основное логарифмическое тождество:
   $$A=7^{log_{7}\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}-5^{log_{5^2}(1-\sqrt{2})^2}$$,

   $$A=7^{log_{7}\left | \sqrt{2}-1 \right |}-5^{log_{5}\left | 1-\sqrt{2} \right |}$$,

   $$A=\left | \sqrt{2}-1 \right |-\left | 1-\sqrt{2} \right |$$,

   $$A=(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{2}-1)=0$$.

1. Аргумент логарифма должен быть положительным.
2. Справедливо равенство:

   $$\sqrt{a^2}=\left | a \right |$$.

3. Выражение $$\sqrt{2}-1$$ положительное, а выражение $$1-\sqrt{2}$$ отрицательное.

Свойства логарифмов:
$$log_{a}b^n=n\cdot log_{a}b$$;

  $$log_{a^m}b=\frac{1}{m}log_{a}b$$; 

$$log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$$.

Согласно свойствам логарифмов, получим:
$$A=\frac{log_{7^2}10}{log_{7}10}+\frac{lg7^3}{lg7}$$,

$$A=\frac{\frac{1}{2}log_{7}10}{log_{7}10}+\frac{3lg7}{lg7}$$,

$$A=0,5+3=3,5$$.

Десятичный логарифм числа $$b$$ записывают $$log_{10}b$$ или $$lg$$$$b$$. Верно, что $$lg10=1$$.