Иррациональные уравнения ИТ
Уравнение $$\frac{\sqrt[3]{2x+1}}{\sqrt{x-2}}$$$$=\frac{x+2}{x^{2}-9}$$ не имеет смысла при:
- Иррациональным называют уравнение, содержащее переменную под знаком радикала.
- Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаками радикалов четной степени.
- Дробным называют уравнение, содержащее переменную в знаменателе дроби.
- Область допустимых значений дробного уравнения не содержит тех значений переменной, которые обращают в нуль знаменатель дроби.
Так как уравнение дробно-иррациональное, то оно лишено смысла в случае, когда:
1) $$x-2\leq 0$$, откуда $$x\leq 2$$;
2) $$x^{2}-9=0$$, откуда $$x=\pm 3$$ .
Область допустимых значений выражения $$\sqrt[3]{2x+1}$$ – множество всех действительных чисел.
Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt[]{2-x}-\sqrt{x+3}=1$$ равна:
Если уравнение имеет вид $$\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}=\sqrt{\varphi (x)}$$, то
ОДЗ $$\left\{\begin{matrix} {f(x)} \geq 0, & & \\ g(x)\geq 0, & & \\ \varphi (x) \geq 0.& & \end{matrix}\right.$$
Перенесем отрицательное слагаемое в правую часть уравнения $$\sqrt{f(x)}=\sqrt{\varphi (x)}+\sqrt{g(x)}$$ и дважды возведем обе его части в квадрат при условии, что обе части уравнений не отрицательны.
$$(\sqrt[]{2-x})^2=(\sqrt{x+3}+1)^2$$,
$$2\sqrt{x+3}=-2-2x$$,
Полученное уравнение имеет решение при $$-1-x\geq 0$$ или $$x\leq -1$$ .
Возведем обе его части в квадрат:
$$x+3=1+2x+x^2$$,
Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательные.
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left (8-x \right )\sqrt{16-x^2}=0$$ равно:
Если уравнение имеет вид $$f(x)\cdot g(x)=0$$, то на ОДЗ оно равносильно совокупности уравнений:$$f(x)=0$$ или $$g(x)=0$$.
- Выражение, записанное под знаком корня четной степени, не должно быть отрицательным.
- Совокупность уравнений мы решали на ОДЗ.
Произведение корней уравнения $$\sqrt[3]{\sqrt{1+x^{2}}-10}=-2$$ равно:
Если уравнение имеет вид $$\sqrt[3]{f(x)}=\varphi (x)$$, то возведя обе части уравнения в куб, получим равносильное ему уравнение $$f(x)=\varphi^{3} (x)$$.
ОДЗ: так как $$1+x^{2}>0$$, то $$x\in R$$.
Тогда:
$$\left (\sqrt[3]{\sqrt{1+x^{2}}-10} \right )^{3}=(-2)^{3}$$,
$$({\sqrt{1+x^{2}}-10} )=-8$$,
$$(\sqrt{1+x^{2}})=2$$ ,
$$(\sqrt{1+x^{2}} )^2=2 ^2$$,
$$1+x^{2}=4$$ ,
$$x=\pm \sqrt{3}$$ и $$x_{1}x_{2}=-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=-3$$.
- Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательны.
- Возводить уравнение в нечетную степень можно и при отрицательной правой части.
Среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}=1$$ равно:
Если уравнение имеет вид $$\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\varphi (x)$$ , то
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} {f(x)} \geq 0, & & \\ g(x)\geq 0, & & \\ \varphi (x) \geq 0.& & \end{matrix}\right.$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$\left (\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)} \right )^{2}=\left (\varphi (x) \right )^{2}.$$
«Уединим» радикал, приведем подобные слагаемые и снова возведем обе части полученного уравнения в квадрат при условии, что обе части и этого уравнения не отрицательные.
$$\left (\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x} \right )^{2}=1$$,
Следовательно, корнем может быть только число $$2$$.
Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательны.
Количество корней уравнения $$\sqrt[3]{3+2x}+\sqrt[3]{1-2x}=2$$ равно:
Если уравнение имеет вид $$\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)}=\varphi (x)$$, то, выполняют преобразования:
$$\sqrt[3]{f(x)}=\varphi (x)-\sqrt[3]{g(x)}$$,
$$(\sqrt[3]{f(x)})^3=(\varphi (x)-\sqrt[3]{g(x)})^3$$,
$$f(x)=(\varphi (x)-\sqrt[3]{g(x)})^3$$.
Далее, как правило, следует подстановка:
$$\sqrt[3]{g(x)}=a$$ .
$$(\sqrt[3]{3+2x})^3=(2-\sqrt[3]{1-2x})^3,$$
$${3+2x}=8-12\sqrt[3]{1-2x}+6(\sqrt[3]{1-2x})^2-1+2x,$$
$$2-6\sqrt[3]{1-2x}+3(\sqrt[3]{1-2x})^2=0.$$
Возведя их в третью степень, получим линейные уравнения, каждое из которых имеет по одному корню. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.
Согласно формуле $$a^3\pm b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$, получим:
$$\left (\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)} \right )^3=\varphi ^3(x)$$,
«Уединяя» радикал и снова возводя обе части уравнения в третью степень, получим уравнение, не содержащее переменную под знаком радикала.
Среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt{2x+1}=1-x$$ равно:
Если уравнение имеет вид $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ , то, возведя обе части уравнения в квадрат, при условии, что $$g(x)\geq 0$$, получим:
$$f(x)=g^{2}(x)$$.
Если $$1-x\geq 0$$ или $$x\leq 1$$, то:
$$2x+1=(1-x)^2$$ ,
$$2x+1=1-2x+x^2$$,
$$x^2-4x=0$$,
$$x(x-4)=0$$,
откуда $$x_{1}=0, x_{2}=4$$.
Число $$4$$ не удовлетворяет условию $$x\leq 1$$, следовательно, не является корнем этого уравнения.
Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательны.
Произведение всех корней уравнения $$\sqrt{2x^2-x-15}=4x^2-2x-45$$ равно:
$$\sqrt{2x^2-x-15}=4x^2-2x-30-15$$,
$$\sqrt{2x^2-x-15}=2(2x^2-x-15)-15$$.
$$y=2y^2-15$$;
откуда $$D=1+120=121$$,
- Значение корня четной степени не может быть отрицательным.
- Применяя теорему Виета, необходимо находить дискриминант уравнения, потому что, если он отрицательный, то уравнение вовсе не имеет корней.
Модуль суммы всех корней (или корень, если он единственный) уравнения$$ \sqrt[3]{x-1}-\sqrt{2-x}=1$$ равен:
Формула квадрата суммы (разности):
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
Выразим переменную $$b$$ из первого уравнения системы:
Подставим значение $$b$$ во второе уравнение системы:
$$a^3+(a-1)^2=1,$$ $$a^3+a^2-2a=0,$$
Тогда, $$b_{1}=-1, b_{2}=0, b_{3}=-3$$.
Так как $$b\geq 0$$, то $$\sqrt{2-x}=0$$ , откуда $$x=2$$.
Выражение $$\sqrt[3]{f(x)}$$ может быть как положительным, так и не положительным, а выражение $$\sqrt{f(x)}$$ всегда не отрицательное.
Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$2\sqrt{2-x}-5^4\sqrt{2-x}=12$$ равна:
Корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ находят по формулам:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$,
где $$D=b^2-4ac \geq0$$.
Значение корня четной степени не может быть отрицательным.