Показательные уравнения ИТ
Среднее арифметическое координат упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{matrix} 2^{x}+2^{y}=5,\hfill \\ \sqrt{2}^{x+y}=2,\hfill \end{matrix}\right.$$ равно:
Свойства степеней:
$$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{m-n}$$;
$$(a^n)^{m}=a^{nm}$$.
$$\begin{cases} 2^{x}+2^{y}=5,\\ \sqrt{2}^{x+y}=(\sqrt{2})^{2}; \end{cases}$$$$\begin{cases} 2^{x}+2^{y}=5,\\ x+y=2; \end{cases}$$$$\begin{cases} 2^{x}+2^{y}=5,\\ y=2-x; \end{cases}$$$$\begin{cases} 2^{x}+2^{2-x}=5,\\ y=2-x. \end{cases}$$
$$2^{x}+\frac{4}{2^{x}}=5$$,
$$(2^{x})^{2}-5\cdot 2^{x}+4=0$$.
Решая квадратное уравнение относительно $$2^{x}$$ по теореме Виета, запишем:
$$2^{x_{1}}+2^{x_{2}}=5$$, а $$2^{x_{1}}\cdot 2^{x_{2}}=4$$ и получим $$2^{x_{1}}=4$$, а $$2^{x_{2}}=1$$.
Тогда, $$x_1=2$$, а $$x_2=0$$.
3. Так как $$y=2-x$$, то $$y_1=2-2=0$$, а $$y_2=2-0=2$$.$$\frac{2+0+0+2}{4}=1$$.
Уравнение $$(2^x)^2 -5\cdot 2^x+4=0$$ можно решить с помощью подстановки $$2^x=a$$.
Среднее арифметическое всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$(\sqrt{3})^{2x}+3^{1-x}=4$$ равно:
Свойства степеней:
$$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$,
$$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$,
$$a^{0}=1$$.
Полагая $$3^{x}=a$$, получим:
Тогда, $$3^{x}=3^{1}$$, откуда $$x=1$$ или $$3^{x}=3^{0}$$, откуда $$x=0$$.
Число $$1$$ всегда можно представить в виде степени любого отличного от нуля числа с показателем нуль:
$$1=a^{0}$$, где $$a\neq 0$$.
Количество корней уравнения $$\left | x-2 \right |^{x^{2}-2x}=\left | x-2 \right |^3$$ равно:
1) $$g(x)=\phi(x)$$ при $$f(x)>0$$ и $$f(x)\neq 1$$;
2) $$f(x)=1$$;
3) $$f(x)=0$$. В этом случае необходима проверка корней подстановкой их в исходное уравнение, так как можем получить неопределенность вида $$0^0$$ или $$0^{-n}=\frac{1}{0}$$.
Проверка:
Поскольку выражение $$0^0$$ лишено смысла, то число $$2$$ корнем уравнения не является.
Справедливо равенство $$0^n=0$$, но если $$n=0$$ или $$n<0$$, то это выражение лишено смысла.
Сумма всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$2^{2x+1}+7\cdot 2^{x}-4=0$$ равна:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$,
где дискриминант $$D=b^{2}-4ac\geq 0$$.
$$2a^{2}+7a-4=0$$, откуда
$$D=49+32=81$$,
$$a_{1}=\frac{-7-9}{4}=-4$$,
$$a_{_{2}}=\frac{-7+9}{4}=\frac{1}{2}$$.
3. Тогда $$2^{x}=-4$$, откуда $$x\in \varnothing$$ или $$2^{x}=2^{-1}$$, откуда $$x=-1$$.Выражение $$2^{x}$$ принимает только положительные значения.
Модуль разности корней уравнения $$14\cdot 2^{2x}-53\cdot 14^{x}+14\cdot 49^{x}=0$$ равен:
$$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$,
$$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$,
$$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$$,
$$\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left (\frac{a}{b} \right )^{n}.$$
2. Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ находят по формулам:$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$,
где дискриминант $$D=b^{2}-4ac\geq 0$$.
$$14\cdot 2^{2x}-53\cdot 2^{x}\cdot 7^{x}+14\cdot 7^{2x}=0$$.
Разделим уравнение на $$2^{x}\cdot 7^{x}\neq 0$$. Получим:
$$\frac{14\cdot 2^{2x}}{2^{x}\cdot 7^{x}}-\frac{53\cdot 2^{x}\cdot 7^{x}}{2^{x}\cdot 7^{x}}+\frac{14\cdot 7^{2x}}{2^{x}\cdot 7^{x}}=\frac{0}{2^{x}\cdot 7^{x}}$$,
$$\frac{14\cdot 2^{x}}{7^{x}}-53+\frac{14\cdot 7^{x}}{2^{x}}=0$$,
$$14\cdot \left (\frac{2}{7} \right )^{x}-53+14\cdot \left (\frac{7}{2} \right )^{x}=0.$$
2. Полагая $$\left (\frac{2}{7} \right )^{x}=a$$, запишем:$$14\cdot a-53+\frac{14}{a}=0$$,
$$14a^{2}-53a+14=0$$.
Тогда:
$$D=53^{2}-4\cdot 14^{2}=(53-28)(53+28)=25\cdot 81=45^{2}$$,
$$a_{1}=\frac{53-45}{28}=\frac{2}{7}$$,
$$\alpha _{2}=\frac{53+45}{28}=\frac{7}{2}$$.
3. Тогда:Выражения $$\left (\frac{a}{b} \right )^{n}$$ и $$\left (\frac{b}{a} \right )^{n}$$ взаимно обратные.
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения
$$(2\sqrt{2})^{\frac{2x}{2-x}}=8$$ равно:
$$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$;
$$(2^1\cdot 2^\frac{1}{2})^\frac{2x}{2-x}=2^3,$$
$$(2^{1+\frac{1}{2}})^\frac{2x}{2-x}=2^3,$$
$$2^{\frac{3}{2}\cdot\frac{2x}{2-x}}=2^3.$$
2. Заменим уравнение $$2^{\frac{3}{2}\cdot\frac{2x}{2-x}}=2^3$$ равносильным ему уравнением:$$\frac{3}{2}\cdot \frac{2x}{2-x}=3$$ или $$\frac{x}{2-x}=1$$.
По свойству пропорции при $$x\neq 2$$ получим:
$$x= 2-x$$, откуда $$x=1$$.
Свойство пропорции $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$:
произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то есть $$ad=bc$$.
Если корень уравнения $$3^{x+1}\cdot 5^{1-x}=5,4$$ составляет $$1,5$$ часть некоторого числа, то это число равно:
Свойства степеней:
$$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$,
$$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$,
$$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$,
$$\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left (\frac{a}{b} \right )^{n}.$$
$$3\cdot 3^{x}\cdot \frac{5}{5^{x}}=\frac{54}{10}$$,
$$\left (\frac{3}{5} \right )^{x}=\frac{54}{10\cdot 5\cdot 3}$$,
$$\left (\frac{3}{5} \right )^{x}=\frac{9}{25}$$,
$$\left (\frac{3}{5} \right )^{x}=\left (\frac{3}{5} \right )^{2}$$, откуда $$x=2$$.
2. Так как число $$2$$ составляет $$\frac{3}{2}$$ некоторого числа, то искомое число равно:$$2: \frac{3}{2}=\frac{4}{3}.$$
Чтобы найти число по его части, необходимо число разделить на эту дробь, а чтобы найти часть числа, необходимо число умножить на эту дробь.
Сумма модулей корней уравнения $$(3-2\sqrt{2})^{x}+(3+2\sqrt{2})^{x}=34$$ равна:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$,
где дискриминант $$D=b^{2}-4ac\geq 0$$.
$$a_{2}=(3+2\sqrt{2})^{2}$$.
Выражения $$(3-2\sqrt{2})^{x}$$ и $$(3+2\sqrt{2})^{x}$$ взаимно обратные, так как их произведение равно числу $$1$$.
Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$2\cdot (1,5)^{x+1}-3\cdot \left (\frac{4}{9} \right )^{x}=0$$ равна:
Свойства степеней:
$$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$;
$$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$.
- Представим число $$1,5$$ обыкновенной дробью и применим свойства степеней:
$$2\cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{x+1}-3\cdot \left (\frac{4}{9} \right )^{x}=0$$,
$$2\cdot \frac{3}{2}\cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{x}=3\cdot \left(\frac{2}{3} \right )^{2x}, $$
$$\left (\frac{3}{2} \right )^{x}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-2x}.$$ - Полагая $$\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}=a$$, запишем:
$$a=a^{-2}$$ или $$a=\frac{1}{a^{2}}$$, откуда $$a^{3}=1$$, $$a=1$$.
- Тогда, $$\left (\frac{3}{2} \right )^{x}=1$$, $$\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}=\left (\frac{3}{2} \right )^{0}$$, $$x=0$$.
Число $$1$$ всегда можно представить в виде степени любого отличного от нуля числа с показателем нуль:
$$1=a^{0}$$, где $$a\neq 0$$.
Не имеют корней уравнения:
1) $$3^{x+3}=-3$$;Показательным называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени, то есть уравнение вида:
$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$, где $$a> 0$$,
$$a\neq 1$$, $$b>0$$, $$b\neq 1$$.
- В уравнении $$3^{x+3}=-3$$ отрицательная правая часть, следовательно, оно не имеет решений.
- В уравнении $$5^{x}=1$$ число $$1$$ положительное и его можно представить как $$5^{0}$$, следовательно, уравнение имеет решение.
- Уравнение $$36\cdot 6^{1-x}=\sqrt[6]{6}$$ можно записать $$6^{2}\cdot 6^{1-x}=6^{\frac{1}{6}}$$ или $$6^{3-x}=6^{\frac{1}{6}}$$, следовательно, оно имеет решение.
- В уравнении $$\sqrt{7}^{-x}=5$$ нельзя представить число $$5$$ в виде степени числа $$7$$, но число $$5$$ – положительное, следовательно, уравнение имеет решение.
- В уравнении $$10^{x}=0$$ в правой части число $$0$$, следовательно, оно не имеет решений.
Выражение $$a^{f(x)}$$ всегда положительное.