Тригонометрические уравнения ИТ
Решение уравнения $$5sin^2x+cos^2x-sin2x=2$$ имеет вид:
Разделив обе его части на $$cos^2x\neq 0$$ , получим:
$$\frac{asin^2x}{cos^2x}+\frac{bsinxcosx}{cos^2x}+\frac{ccos^2x}{cos^2x}=\frac{0}{cos^2x}$$ или квадратное уравнение относительно $$tgx$$ : $$atg^2x+btgx+c=0$$ .
Решая простейшие уравнения вида $$tgx=a$$ , найдем значения переменной $$x$$.
4. Если $$tgx=a$$ , $$a\in R$$ , то $$x=arctga+\pi n$$, где $$n\in Z$$.$$sin2x=2sinxcosx$$.
$$2sin^2x+2cos^2x=2$$.
3. Уравнение примет вид:$$5sin^2x+cos^2x-2sinxcosx=2sin^2x+2cos^2x,$$
$$3sin^2x-cos^2x-2sinxcosx=0$$.
4. Разделив обе его части на $$cos^2x\neq 0$$ , получим:$$3tg^2x-2tgx-1=0$$,
откуда $$D=4+12=16,$$
Тогда, $$x=-arctg\frac{1}{3}+\pi n$$ и $$x=\frac{\pi}{4} +\pi m$$ , где $$n,m \in Z$$.
Уравнение $$tgx=a$$ всегда имеет решение, так как $$a \in R$$.
Увеличенная в 4 раза сумма модулей корней уравнения $$tg\pi x+ctg\pi x=2$$, по абсолютной величине не превосходящих $$0,5\pi$$, равна:
$$a+\frac{1}{a}-2=0,$$ $$a^2-2a+1=0,$$
Тогда, $$tg\pi x=1$$, откуда
Различайте:
1) модуль суммы чисел $$a$$ и $$b$$ – это выражение $$\left | a+b \right |$$ ;Сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения $$5cos(60^{\circ}-2x)=0$$ равна:
- $$cos(-\alpha )=cos \alpha$$.
- Если $$cosx=0$$ , то $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$ , где $$n\in Z$$.
Тогда:
1) при $$n=-1$$, $$x=75^{\circ}-90^{\circ}=-15^{\circ}$$;
2) при $$n=0$$, $$x=75^{\circ}$$.
Справедливы равенства:
$$\pi$$ рад $$=180^{\circ}$$;
$$\frac{\pi }{2}$$ рад $$=90^{\circ}$$.
Наименьший положительный корень уравнения $$sin2x+cos2x-sin(4\pi +4x)+sin(1,5\pi +4x)=0$$ равен:
$$sin x-sin y=2sin \frac{x-y}{2}cos \frac{x+y}{2}$$,
$$cos x-cos y=-2sin \frac{x+y}{2}sin \frac{x-y}{2}$$.
$$sin(1,5\pi +4x)=-cos 4x$$ .
3. Уравнение примет вид:$$sin2x+cos2x-sin4x-cos4x=0$$,
$$(sin2x-sin4x)+(cos2x-cos4x)=0$$.
Применим формулы преобразования суммы в произведение и разложим левую часть уравнения на множители:
$$2sin(-x)cos3x-2sin3xsin(-x)=0,$$
$$-2sinxcos3x+2sin3xsinx=0,$$
$$sinxcos3x-sin3xsinx=0,$$
$$sinx(cos3x-sin3x)=0.$$
Решим совокупность уравнений:
1) $$sinx=0$$ , откуда $$x=\pi n$$ , где $$n \in Z$$;$$3x=\frac{\pi }{4}+\pi m,$$
$$x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi m }{3},$$ где $$m\in Z$$.
4. Очевидно, что наименьший положительный корень уравнения равен $$\frac{\pi }{12}$$ .Решая совокупность уравнений, необходимо объединять их решения.
Среднее арифметическое модулей корней уравнения $$3 sin ^{2}\frac{x}{3}+cos\frac{2x}{3}=1,5$$, принадлежащих промежутку $$[-\pi ;\pi ]$$, равно :
$$cos\frac{2x}{3}=cos^2\frac{x}{3}-sin^2\frac{x}{3}$$.
Зная, что $$cos^2\frac{x}{3}=1-sin^2\frac{x}{3}$$ , получим:
$$cos\frac{2x}{3}=1-sin^2\frac{x}{3} -sin^2\frac{x}{3} =1-2sin^2\frac{x}{3}$$.
Тогда уравнение примет вид:
$$3sin^2 \frac{x}{3}+1-2sin^2\frac{x}{3} =\frac{3}{2}$$,
$$sin^2\frac{x}{3}=\frac{1}{2}$$ .
Понизим степень уравнения:
$$\frac{1}{2} \left (1-cos\frac{2x}{3} \right )=\frac{1}{2}$$.
Тогда:
$$1-cos\frac{2x}{3}=1,$$
$$cos\frac{2x}{3}=0$$,
откуда $$\frac{2x}{3}=\frac{\pi }{2}+\pi n,$$
$$\frac{x}{3}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},$$
$$x=\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi n}{2}$$, где $$n\in Z$$.
2. Отбор корней на промежутке $$[-\pi ;\pi ]$$:1) при $$n=0$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}<\pi ;$$
2) при $$n=1$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi }{2}>\pi ;$$
3) при $$n=-1$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}-\frac{3\pi }{2}=-\frac{3\pi }{4}>-\pi ;$$
4) при $$n=-2$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}-3\pi <-\pi .$$
$$\frac{\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}}{2}=\frac{3\pi }{4}$$ или $$\frac{3\cdot 180^{\circ}}{4}=3\cdot 45^{\circ}=135^{\circ}$$ .
Уравнение $$sin^2\frac{x}{3}=\frac{1}{2}$$ можно решить иначе, если заменить его совокупностью уравнений:
1) $$sin\frac{x}{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ , откуда:$$\frac{x}{3}=(-1)^{n}arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}+\pi n,$$
$$\frac{x}{3}=(-1)^{n}\frac{\pi }{4}+\pi n,$$
$$x=(-1)^{n}\frac{3\pi }{4}+3\pi n;$$
2) $$sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$ , откуда:$$\frac{x}{3}=(-1)^{n}arcsin\left (-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )+\pi n,$$
$$\frac{x}{3}=(-1)^{n+1}\frac{\pi }{4}+\pi n,$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi }{4}+3\pi n.$$
Очевидно, что этот способ решения более трудоемкий, а, следовательно, и не рациональный.
Наименьший положительный корень уравнения $$\sqrt{3}tg(0,5x)=3cos0$$ равен:
Если $$tgx=a$$ и $$a\in R$$ , то $$x=arctga+\pi n$$, где $$n\in Z$$.
Выполним преобразования:
$$\sqrt{3}tg(0,5x)=3\cdot 1,$$
$$tg(0,5x)=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} .$$
Тогда, $$\frac{x}{2}=arctg\sqrt{3}+\pi n,$$
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+\pi n,$$
$$x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,$$ где $$n\in Z$$.
При $$n=-1$$ получим: $$x=\frac{2\pi }{3}-2\pi <0.$$
При $$n=0$$ получим: $$x=\frac{2\pi }{3}$$ или $$x=120^{\circ}$$.
Количество корней уравнения $$2sin^2(180^{\circ}+x)-3cos(180^{\circ}-x)=0$$, принадлежащих отрезку $$[0;3\pi ]$$, равно:
$$2sin^2x+3cosx=0$$.
Так как $$sin^2x=1-cos^2x$$, то запишем:
$$2(1-cos^2x)+3cosx=0;$$
$$2-2cos^2x+3cosx=0;$$
$$2cos^2x+3cosx-2=0.$$
2. Полагая $$cosx=a$$, получим:$$D=9+16=25,$$ $$a_{1}=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2},$$ $$a_{2}=\frac{3+5}{4}=2.$$
$$x=\pm arccos \left (-\frac{1}{2} \right )+2\pi n,$$
$$x=\pm \left (\pi -\frac{\pi }{3} \right )+2\pi n,$$
$$x= \pm \frac{2\pi }{3} )+2\pi n,$$ где $$n\in Z$$;
2) $$cos x=2$$ , откуда $$x\in \varnothing$$.при $$n=0$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}<2\pi$$ и $$x=-\frac{2\pi }{3}>-\pi$$;
при $$n=1$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}+2\pi >2\pi$$ и $$x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi=\frac{4\pi }{3}<2\pi$$;
при $$n=-1$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{4\pi }{3}<-\pi$$ и $$x=-\frac{2\pi }{3}-2\pi<-\pi$$.
На данном промежутке уравнение имеет три корня:
$$\frac{2\pi }{3},-\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}.$$
Если функция, к которой применяем формулу приведения, возведена в четную степень, то она всегда положительна и ее знак определять нет необходимости.
Например, $$sin(180^{\circ}+x) =-sinx,$$ а $$sin^2(180^{\circ}+x) =sin^2x$$.
Число, противоположное наибольшему отрицательному корню уравнения $$\sqrt{3}sin 5x-3cos 5x=0$$ , равно:
Однородным уравнением первой степени называют уравнение вида:
$$asinx+bcosx=0$$.
Разделив его обе части на $$cosx\neq 0$$ , получим:
$$\frac{asinx}{cosx}+\frac{bcosx}{cosx}= \frac{0}{cosx}$$,
$$atgx+b=0$$,
$$tgx=-\frac{b}{a}$$,
откуда $$x=-arctg\left (\frac{b}{a} \right )+\pi n,n\in Z.$$
Получим:
$${\sqrt{3}tg5x}-3=0,$$
$$tg5x= \frac{3}{\sqrt{3}},$$
$$tg5x= \sqrt{3},$$
откуда $$5x=\frac{\pi }{3}+\pi n,$$ $$x=\frac{\pi }{15}+\frac{\pi n}{5},$$ где $$n\in Z$$.
2 .Отбор корней:1) при $$n=0$$ получим $$x=\frac{\pi }{15}>0 ;$$
2) при $$n=-1$$ получим $$x=\frac{\pi }{15}-\frac{\pi }{5}=-\frac{2\pi }{15}<0 .$$
Однородное уравнение $$asinx+bcosx=0$$ можно разделить и на $$sinx$$ . Тогда будем иметь: $$a+bctgx=0$$.
Решение уравнения $$sin \left (\frac{\pi }{6}-x \right )=1$$ имеет вид:
- $$sin(-\alpha )=-sin \alpha$$.
- Если $$sinx=-1$$ , то $$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$$ , где $$n\in Z$$.
Запишем уравнение в виде:
$$-sin \left (x-\frac{\pi }{6} \right )=1,$$
$$sin \left (x-\frac{\pi }{6} \right )=-1.$$
Тогда, $$x-\frac{\pi }{6} =-\frac{\pi }{2} +2\pi n,$$
$$x=-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2\pi n,$$
$$x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n,$$ где $$n\in Z$$.
Основной единицей измерения углов считают угол в один градус (обозначают $$1^{\circ}$$).
Наряду с градусной мерой угла, употребляется и радианная мера.
Один радиан равен $$\frac{180}{\pi }$$ градусов, а один градус равен $$\frac{\pi}{ 180}$$ радиан.
Следовательно, $$n$$ рад $$=\frac{n\cdot 180^{\circ}}{\pi },n^{\circ}=\frac{n\cdot \pi }{180 }$$ рад.
Разность наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения (в градусах) $$sinxsin3x-cos3xcos5x=0$$ равна:
- Формулы преобразования произведения в сумму:
$$sinxsiny=\frac{1}{2}\left (cos(x-y)-cos(x+y) \right )$$,
$$cosxcosy=\frac{1}{2}\left (cos(x-y)+cos(x+y) \right )$$. - Формула преобразования отрицательного аргумента:
$$cos(-\alpha )=cos\alpha$$. - Формула преобразования суммы в произведение:
$$cosx-cosy=-2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$$. - Если $$sinx=0$$ , то $$x=\pi n$$ , где $$n \in Z$$.
$$\frac{1}{2}(cos(-2x)-cos4x)-\frac{1}{2}(cos(-2x)+cos8x)=0,$$
$$(cos2x-cos4x)-(cos2x+cos8x)=0,$$
$$cos2x-cos4x-cos2x-cos8x=0,$$
$$cos4x+cos8x=0.$$
$$2cos6xcos2x=0.$$
Справедливы равенства:
$$n$$ рад $$=\frac{n\cdot 180^{\circ}}{\pi },$$
$$n^{\circ}=\frac{n\cdot \pi}{180}$$ рад $$.$$