1. Свойства логарифмов: 
   $$\textrm{log}_ab^n=n \cdot \textrm{log}_ab$$;
   $$\textrm{log}_ab=\frac{1}{\textrm{log}_ba}$$.

2. Основное логарифмическое тождество: 
   $$a^{\textrm{log}_ab}=b$$.

1. ОДЗ: $$\begin{equation*} \begin{cases} x < 4, \\ x\neq 3. \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x < 4, \\ x\neq 3. \end{cases} \end{equation*}$$
2. Выполним преобразования:

   $$2^{\textrm{log}_2(4-x)}<4^{\textrm{log}_4(\sqrt{4-x})^{-1}}+4^{\textrm{log}_4(4-x)}$$;

   $$4-x<\frac{1}{\sqrt{4-x}}+4-x$$;

   $$\frac{1}{\sqrt{4-x}}>0$$; $$4-x>0$$; $$x<4$$.

3. Учитывая ОДЗ, запишем решение неравенства:
   $$x\in (-\infty ;3)\cup (3;4)$$.
4. Запишем натуральные решения неравенства: $$1$$ и $$2$$.

Число $$0$$ не является натуральным числом.

Если $$\textrm{log}_af(x)< b$$, то ОДЗ: $$f(x)>0$$.

Тогда:

1. при условии, что $$a > 1$$ получим $$f(x) < a^b$$;
2. при условии, что $$0 < a < 1$$ получим $$f(x)>a^b$$.

1. ОДЗ: $$ \begin{cases}6+2x>0, \\ \textrm{log}_{0,2}(6+2x)>0; \end{cases}\begin{cases}x>-3, \\ 6+2x<1; \end{cases}\begin{cases}x>-3, \\ x<-2,5; \end{cases}$$ $$x\in (-3;-2,5)$$.
2. Решим неравенство $$\textrm{log}_{0,2}(6+2x)<1$$:

   $$6+2x>0,2$$; $$x>-2,9$$.

3. Учитывая ОДЗ, запишем решение неравенства: $$x\in (-2,9;-2,5)$$.
4. Найдем длину этого промежутка: $$-2,5+2,9=0,4$$.

Десятичный логарифм числа $$b$$ записывают $$\textrm{log}_{10}b=\textrm{lg}b$$.

Свойства логарифмов:

1. $$\textrm{log}_aa=1$$;
2. $$\textrm{log}_abc=\textrm{log}_ab+\textrm{log}_ac$$;
3. $$\textrm{log}_ab^n=n\cdot \textrm{log}_ab$$;
4. $$\textrm{log}_ab=\frac{1}{\textrm{log}_ba}$$.

1. ОДЗ: $$ \begin{equation*} \begin{cases} x>0,\\ 3x\neq 1. \end{cases} \end{equation*}$$
2. Выполним преобразования:

   $$\frac{2}{\textrm{log}_33x}-2(\textrm{log}_3\sqrt{3}+\textrm{log}_3x)-1\geq 0$$;

   $$\frac{2}{1+\textrm{log}_{3}x}-2\left(\frac{1}{2}+\textrm{log}_{3}x\right)-1\geq 0$$;

   $$\frac{2}{1+\textrm{log}_{3}x}-2\textrm{log}_{3}x-2\geq 0$$;

   $$\frac{1}{1+\textrm{log}_3x}-\textrm{log}_3x-1\geq 0$$.

3. Найдем нули функции, записанной в левой части последнего неравенства, полагая $$\textrm{log}_3x=a$$.

   Получим: $$\frac{1}{1+a}=1+a$$, $$(1+a)^2=1$$, откуда:

   1. $$1+a=1$$, $$a=0$$;
   2. $$1+a=-1$$, $$a=-2$$.

   Тогда, $$\textrm{log}_3x=0$$ и $$x=1$$ или $$\textrm{log}_3x=-2$$ и $$x=\frac{1}{9}$$. 

4. Нанесем нули функции на ОДЗ неравенства и согласно рисунку 7.25 запишем его решение: 
   $$x\in \left(0;\frac{1}{9}\right]\cup \left(\frac{1}{3};1\right]$$.
                                                                  

Аргумент логарифмической функции всегда положительный, а ее основание – положительное и, к тому же, не равно $$1$$.

1. Свойства степеней:
   $$a^na^m=a^{n+m}$$; 
   $${(a^n)}^m=a^{nm}$$.
2. Формула разности квадратов:
   $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
3. Если неравенство имеет вид $$\textrm{log}_af(x) < b$$, то при $$f(x)>0$$ и $$a>1$$ получим:
   $$f(x) < a^b$$.
4. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств
   $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x) \leq a,\\ f(x)\geq -a. \end{cases} \end{equation*}$$

1. ОДЗ: $$x>0$$.
2. Полагая, что $$\textrm{log}_2x=a$$, а $$x=2^a$$, запишем:

   $$(2^{-1}\cdot 2^a)^{a+1}\leq 2^3$$, $$(2^{a-1})^{a+1}\leq 2^3$$, $$2^{a^2-1}\leq 2^3$$, 
   $$a^2-1\leq 3$$, $$a^2\leq 4$$, $$\left | a \right |\leq 2$$. 
   Тогда: $$\left | \textrm{log}_2x \right |\leq 2$$; $$\begin{equation*} \begin{cases} \textrm{log}_2x\leq 2, \\ \textrm{log}_2x\geq -2; \end{cases} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \begin{cases} x\leq 4, \\ x\geq 0,25; \end{cases} \end{equation*}$$ $$x\in [0,25;4]$$.

3. Найдем сумму всех целых решений неравенства: $$1+2+3+4=10$$.

1. Различайте записи: $$\textrm{log}_a(x+b)$$ и $$\textrm{log}_ax+b=(\textrm{log}_ax)+b$$.
2. Различайте записи: $$x^2=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$ и $$x^2\leq a\Leftrightarrow \left | x \right |\leq \sqrt{a}$$.

1. Если неравенство имеет вид $$log_af(x) < b$$, то при $$f(x)>0$$ и $$a>1$$ получим $$f(x) < a^b$$.
2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств
   $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)\le a,\\f(x)\ge-a. \end{cases} \end{equation*}$$

1. ОДЗ: $$(x-10)^2>0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;10)\cup (10; +\infty )$$.
2. Так как $$\sqrt{10}>1$$, то
   $${(x-10)}^2 < 10^2\Leftrightarrow |x-10| < 10\Leftrightarrow \ \begin{equation*} \begin{cases} x-10<10,\\ x-10>-10; \end{cases} \end{equation*} \Leftrightarrow $$
   $$\Leftrightarrow \begin{equation*} \begin{cases} x<20,\\ x>0; \end{cases} \end{equation*}\Leftrightarrow x\in (0;20)$$.
3. Учитывая ОДЗ, запишем: $$x\in (0;10)\cup (10;20)$$.

Различайте записи:

1. $$x^2=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$;
2. $$x^2\leq a\Leftrightarrow \left | x \right |\leq \sqrt{a}$$.

Если $$\textrm{log}_af(x)>b$$, то при $$f(x)>0$$ и $$0 < a < 1$$ получим $$f(x)< a^b$$.

1. ОДЗ: $$2-x>0\Leftrightarrow x<2$$.
2. Так как $$0,1<1$$, то $$2-x<0,1^{-2}$$, $$2-x<100$$, $$x>-98$$.
3. Учитывая ОДЗ, запишем: $$x\in (-98;2)$$.
4. Найдем середину этого промежутка: $$\frac{-98+2}{2}=-48$$.

Мы дважды изменяли смысловой знак неравенства.

1. Если неравенство имеет вид $$\textrm{log}_af(x) < b$$, то при $$f(x)>0$$ и $$a>1$$ получим $$f(x) < a^b$$.
2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств
   $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)\le a,\\f(x)\ge-a. \end{cases} \end{equation*}$$

1. ОДЗ: $$2-x>0\Leftrightarrow x<2$$.
2. Выполним преобразования: 
   $$\textrm{log}^2_{\sqrt{2}}(2-x)<4$$; $$\left | \textrm{log}_{\sqrt{2}}(2-x) \right |<2$$; 
   $$ \begin{equation*} \begin{cases} \textrm{log}_{\sqrt{2}}(2-x)<2,\\ \textrm{log}_{\sqrt{2}}(2-x)>-2; \end{cases} \end{equation*}$$ $$ \begin{equation*} \begin{cases} 2-x<2,\\ 2-x>0,5; \end{cases} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \begin{cases} x>0, \\ x<1,5; \end{cases} \end{equation*}$$ $$x\in (0;1,5)$$.

3. Учитывая ОДЗ, запишем решение неравенства: $$x\in (0;1,5)$$.
4. Длина этого интервала равна $$1,5$$.

1. Различайте записи:
   1. $$\textrm{log}^n_ax=(\textrm{log}_ax)^n$$;
   2. $$\textrm{log}_ax^n=n\textrm{log}_ax$$.
2. Различайте записи:
   1. $$x^2=a \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$;
   2. $$x^2 < a \Leftrightarrow |x|<\sqrt{a}$$.

1. ОДЗ: $$\begin{equation*} \begin{cases}-x>0,\\-x \neq 1; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x<0,\\x \neq -1. \end{cases} \end{equation*}$$
2. Запишем неравенство в виде: 
   $$\textrm{log}_{-x}(2x^2+10)- \textrm{log}_{-x}18>0$$, 
   $$\textrm{log}_{-x} \frac{2(2x^2+5)}{18}>0$$, 
   $$\textrm{log}_{-x} \frac{(2x^2+5)}{9}>0$$.
3. Решим данное неравенство методом интервалов.
   Для этого найдем нули функции, записанной в левой части неравенства: 
   $$\textrm{log}_{-x}\frac{(2x^2+5)}{9}=0$$, $$\frac{(2x^2+5)}{9}=1$$, $$2x^2+5=9$$, 
   $$x^2=2$$, откуда $$x=-\sqrt{2}$$ или $$x=\sqrt{2}$$ (посторонний корень). 
   Согласно рисунку 7.26 запишем решение неравенства: 
   $$x\in (-\infty;-\sqrt{2})\cup (-1;0)$$.
   
4. Наибольшее целое число, которое является решением неравенства, равно $$-2$$.

1. Выражение $$2x^2+10$$ всегда положительное
2. Решая неравенство методом интервалов, нам не пришлось отдельно рассматривать случаи $$-x > 1$$ и $$0 < -x < 1$$. Тем самым удалось избежать решения cовокупности систем неравенств.

1. Свойства логарифмов:
   1. $$\textrm{log}_ab^n=n\cdot \textrm{log}_ab$$;
   2. $$\textrm{log}_{a^m}b=\frac{1}{m}\textrm{log}_ab$$.
2. Если неравенство имеет вид $$\textrm{log}_af(x)\geq \textrm{log}_ag(x)$$, то
   ОДЗ: $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)>0,\\f(x)>0. \end{cases} \end{equation*}$$.

   При условии, что $$a>1$$ получим $$f(x)\geq g(x)$$.

3. Формула разности квадратов:
   $$a^2-b^2=(a-b)(a+b))$$.
4. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\geq a$$, то оно равносильно совокупности неравенств
   $$\left [\begin{matrix} f(x)\geq a, \hfill \\ f(x)\leq -a. \end{matrix}\right.$$

1. ОДЗ: $$ \begin{equation*} \begin{cases} 5+x>0,\\ x-5>0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>-5,\\ x>5; \end{cases} \end{equation*} \Leftrightarrow x>5 $$.
2. Преобразуем неравенство:

   $$\textrm{log}_2(5+x)\geq \textrm{log}_{2{-1}}(x-5)$$; 
   $$\textrm{log}_2(5+x)\geq -\textrm{log}_2(x-5)$$; 
   $$\textrm{log}_2(5+x)\geq \textrm{log}_2{(x-5)}^{-1}$$.

3. Так как $$2>1$$, то $$5+x\geq \frac{1}{x-5}$$,
   $$x^2-25\geq 1$$, $$x^2\geq 26$$, $$\left | x \right |\geq \sqrt{26}$$, $$x\in (-\infty ;-\sqrt{26}]\cup [\sqrt{26};+\infty )$$.
4. Учитывая ОДЗ, запишем решение неравенства: $$x\in [\sqrt{26};+\infty )$$.
5. Наименьшее целое решение этого неравенства равно $$6$$.

1. Обе части неравенства $$5+x\geq \frac{1}{x-5}$$ мы можем умножать на $$x-5$$, так как согласно ОДЗ это выражение всегда положительное.
2. Различайте записи:
   1. $$x^2=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$;
   2. $$x^2\geq a\Leftrightarrow \left | x \right |\geq \sqrt{a}$$.

1. Определения степеней:
   $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$; 
   $$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$.
2. Если $$\textrm{log}_af(x) < b$$, то при $$f(x)>0$$ и $$a>1$$ получим: $$f(x) < a^b$$.

1. Запишем функцию в виде:
   $$f(x)=(\textrm{lg}(32x-16x^2-7))^{-\frac{1}{4}}$$ или $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{\textrm{lg}(32x-16x^2-7)}}$$.
2. Найдем область определения функции:

   $$D(f): \begin{equation*} \begin{cases} 32x-16x^2-7>0,\\ \textrm{lg}(32x-16x^2-7)>0; \end{cases} \end{equation*}$$  $$ \begin{equation*} \begin{cases} 16x^2-32x+7<0,\\ 32x-16x^2-7>1; \end{cases} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \begin{cases} 16x^2-32x+7<0,\\ 2x^2-4x+1<0. \end{cases} \end{equation*}$$

   1. Рассмотрим первое неравенство:

      $$D=32\cdot 32-4\cdot 16\cdot 7=4\cdot 16\cdot (8\cdot 2-7)=4\cdot 16\cdot 9=24^2$$;

      $$x_1=\frac{32-24}{32}=0,25$$; $$x_2=\frac{32+24}{32}=\frac{56}{32}=\frac{7}{4}=0,75$$.

      Решение неравенства: $$(0,25;0,75)$$(рис. 7.27).

      
   2. Рассмотрим второе неравенство:

      $$D=16-8=8$$; $$x_1=\frac{4-2\sqrt{2}}{4}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}\approx 0,3$$; $$x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\approx 1,7$$.

      Решение неравенства: $$\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)$$(рис. 7.28).

      

      Решение системы неравенств: $$\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{3}{4}\right)$$.

      Середина этого промежутка приближенно равна: $$\frac{0,3+0,75}{2}=\frac{1,05}{2}=0,525$$.

      Сумма целых чисел, между которыми заключено это число, равна: $$0+1=1$$.

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы. Тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы.