Многоугольники ИТ
Если площадь квадрата равна $$24$$, то половина его диагонали равна:
- Квадратом называют четырехугольник, у которого все стороны равны, а все углы прямые.
- Диагонали квадрата равны.
- Площадь квадрата можно вычислить по формуле: $$S=\frac{1}{2}d^2$$, где $$d$$ – диагональ.
Так как $$S=24$$, то
$$\frac{1}{2}d^2=24$$,
$$d^2=48$$,
$$d=4\sqrt{3}$$.
Тогда, $$\frac{d}{2}=2\sqrt3$$.
Площадь квадрата можно вычислить и по другой формуле:
$$S=a^2$$, где $$a$$ – сторона квадрата.Если площадь правильного треугольника равна $$3\sqrt{3}$$, то его периметр равен:
Треугольник называют правильным, если все его стороны и все углы равны.
Если смежные стороны прямоугольника относятся как $$4 : 3$$, а его площадь равна $$27$$, то периметр этого прямоугольника равен:
- Прямоугольником называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, а все углы – прямые. Противолежащие стороны прямоугольника попарно равны.
- Периметр прямоугольника можно вычислить по формуле: $$P=2\cdot(a+b)$$, где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны.
- Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле: $$S=ab$$.
- Пусть коэффициент пропорциональности равен $$k$$. Тогда, $$a=4k$$, а $$b=3k$$.
- Так как $$S=27$$, то $$4k\cdot3k=27$$, $$4k^2=9$$, $$k=1,5$$.
- Тогда, $$a=6$$, $$b=4,5$$, а $$P=2\cdot(6+4,5)=21$$.
Смежными называют стороны прямоугольника (многоугольника), имеющие общую вершину.
Если диагонали параллелограмма соответственно равны $$8$$ и $$\sqrt{34}$$, его периметр равен $$16$$, а острый угол составляет $$45^o$$, то площадь параллелограмма равна:
- Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
- Периметр параллелограмма можно вычислить по формуле: $$P=2(a+b)$$, где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны.
- Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:
$$S=ab\cdot sin\alpha$$,
где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны, $$\alpha$$ – величина одного из его углов. - Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон: $$d^2_1+d^2_2=2a^2+2b^2$$.
- Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$$.
- Так как $$P=16$$, то $$2(a+b)=16$$ и $$a+b=8$$.
- По свойству диагоналей параллелограмма: $$64+34=2a^2+2b^2$$, откуда $$a^2+b^2=50$$.
- Возведем равенство $$a+b=8$$ в квадрат: $$a^2+2ab+b^2=64$$. Так как $$a^2+b^2=50$$, то $$2ab+50=64$$ и $$ab=7$$.
- Тогда, $$S=7\cdot sin45^o=\frac{7\sqrt2}{2}=3,5\sqrt2$$.
Противолежащие стороны параллелограмма попарно равны.
Если боковая сторона равнобедренного треугольника равна $$\sqrt{34}$$, а его основание равно $$\sqrt{15}$$, то медиана, проведенная боковой стороне этого треугольника, равна:
- Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Стороны, имеющие одинаковую длину, называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием этого треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
- Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон: $$d^2_1+d^2_2=2a^2+2b^2$$.
- Рассмотрим треугольник $$ABC$$ с боковыми сторонами $$AB=BC=\sqrt{34}$$ и медианой $$AO=x$$ (рис. 8.6).
- Достроим треугольник $$ABC$$ до параллелограмма $$ABDC$$. По свойству диагоналей параллелограмма получим: $$AD^2+BC^2=2AB^2+2AC^2$$, $$4x^2+34=2\cdot34+2\cdot15$$, $$4x^2=34+30$$, откуда $$x=4$$.
В равнобедренном треугольнике различайте медиану, проведенную к основанию треугольника, которая является его биссектрисой и высотой, и медиану, проведенную к боковой стороне треугольника, которая этим свойствами не обладает.
Если площади двух подобных треугольников относятся как $$4 : 9$$, а разность их сходственных сторон равна $$8$$, то сумма длин этих сторон равна:
- Два треугольника подобны, если их соответственные углы равны, а стороны – пропорциональны.
- Площади подобных треугольников (многоугольников) пропорциональны квадратам их соответственных линий.
- Пусть сторона одного треугольника равна $$x$$, а сходственная сторона подобного ему треугольника равна $$x+8$$. Тогда: $$\frac{x^2}{(x+8)^2}=\frac{S_1}{S_2}$$, $$\frac{x^2}{{x+8}^2}=\frac{4}{9}$$, $$\frac{x}{(x+8)}=\frac{2}{3}$$, $$3x=2x+16$$, откуда $$x=16$$.
- Найдем сумму длин сходственных сторон треугольников: $$16+24=40$$.
Сходственными называют пары пропорциональных сторон (или других линий) подобных треугольников.
Если высота равнобокой трапеции равна $$\sqrt{2}$$ и в полтора раза меньше ее средней линии, а диагонали пересекаются под прямым углом, то сумма их длин равна:
- Трапецией называют четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами. - Трапеция является равнобокой, если длины ее боковых (не параллельных) сторон равны.
- Площадь трапеции можно вычислить по формулам:
$$S=\frac{1}{2}(a+b)h$$ или $$S=\frac{1}{2}d_1d_2sin\varphi$$,
где $$a$$, $$b$$ – основания,
$$h$$ – высота трапеции,
$$d_1$$, $$d_2$$ – диагонали,
$$\varphi$$ – угол между диагоналями. - Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
- Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований:
- Так как $$h=\sqrt{2}$$, а $$l=\sqrt{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$ , то $$S=l\cdot h=\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2}=3$$ .
- Так как $$d_1=d_2$$ и $$S=\frac{1}{2}d^2sin90^o$$,то $$3=\frac{1}{2}d^2\cdot1$$,
$$d^2=6$$,
$$d_1=d_2=\sqrt6$$. - Тогда, $$d_1+d_2=2\sqrt6$$.
Диагонали равнобокой (равнобедренной) трапеции равны.
Если стороны треугольника относятся как $$3 : 2 : 1,5$$, а его полупериметр равен $$13$$, то площадь треугольника равна:
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$,
где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – стороны, $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ – полупериметр треугольника.
Так как полупериметр треугольника равен $$13$$, то
$$6,5k=26$$, $$13k=26\cdot2$$, $$k=4$$.
Запишем стороны треугольника:
$$a=3k=12$$, $$b=2k=8$$, $$c=1,5k=6$$.
$$S=\sqrt{13(13-12)(13-8)(13-6)}=\sqrt{455}$$.
Площадь треугольника можно найти и по другим формулам, например, по формуле:
$$S=\frac{1}{2}ah_a$$,
где $$a$$ – сторона, $$h_a$$ – высота, проведенная к стороне $$a$$.
Но, если известны все стороны треугольника, то целесообразно применять формулу Герона.
Если одна из диагоналей ромба равна $$1$$ и равна его боковой стороне, то высота ромба равна:
- Ромбом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны и все его стороны равны.
- Площадь ромба можно вычислить формулам: $$S=ah_a$$ или $$S=a^2sin\alpha$$, где $$a$$ – сторона ромба, $$h_a$$ – высота ромба, проведенная к этой стороне, $$\alpha$$ – величина одного из его углов.
- Так как $$AB=AC=1$$, то треугольник $$ABC$$ – равносторонний (рис. 8.5). Следовательно, имеем ромб со стороной $$1$$ и углом $$60^o$$.
- Тогда, $$S=1^2sin60^o=\frac{\sqrt3}{2}=0,5\sqrt3$$. С другой стороны $$S=ah_a$$. Поэтому $$0,5\sqrt3=1\cdot h_a$$, откуда $$h_a=0,5\sqrt3$$.
Все углы равностороннего треугольника равны $$60^o$$.
Если площадь правильного шестиугольника равна $$6\sqrt6$$, то периметр этого шестиугольника равен:
- Площадь правильного шестиугольника со стороной $$a$$ находят по формуле: $$S=\frac{3\sqrt3a^2}{2}$$.
- Периметр правильного шестиугольника со стороной $$a$$ находят по формуле: $$P=6a$$.
- Зная площадь шестиугольника, найдем его сторону:
$$\frac{3\sqrt3a^2}{2}=6\sqrt6$$, $$\frac{a^2}{2}=2\sqrt2$$, $$a^2=4\sqrt2$$, $$a=2\sqrt[4]{2}$$.
- Найдем периметр шестиугольника: $$P=12\sqrt[4]{2}$$.
- Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все его углы равны.
- Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников.